Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
sumn=1^+infty 1n(n-1) x^n

Passo 1

A questão pede para encontrar a soma fechada da série sumn=1^+infty 1n(n-1) x^n dentro do seu domínio de convergência e identificar o raio de convergência. Vamos usar teste da razão, frações parciais e séries conhecidas (em particular -ln(1-x)=sumn=1^infty x^nn).

Passo 2

Primeiro, note que o termo de índice n=1 seria 1/[1cdot0], que não existe. Então a soma efetivamente começa em n=2. Aplicando o teste da razão ao termo geral an=x^nn(n-1):
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1(n+1)ncdotn(n-1)x^n| =|x|cdotlimntoinftyn-1n+1 =|x|
Daí o raio de convergência é R=1, ou seja, converge para |x|<1.

Passo 3

Em seguida, fazemos frações parciais em 1n(n-1):
1n(n-1)=1n-1-1n
Logo
$$
S(x)=\sum_{n=2}{\infty}\frac{xn}{n(n-1)}
=\sum_{n=2}{\infty}\frac{xn}{n-1}-\sum_{n=2}{\infty}\frac{xn}{n}.
$$

Passo 4

Para a primeira soma fazemos k=n-1, ficando
$$\sum_{n=2}\infty\frac{xn}{n-1}=\sum_{k=1}\infty\frac{x{k+1}}{k}=x\sum_{k=1}\infty\frac{xk}{k}=-x\ln(1-x).
$$

Passo 5

Para a segunda usamos sumn=1^inftyx^nn=-ln(1-x), subtraindo o termo n=1:
$$\sum_{n=2}\infty\frac{xn}{n}=-\ln(1-x)-x.
$$

Passo 6

Portanto a soma total é:
S(x)=-xln(1-x)-l(-ln(1-x)-xr) = x+(1-x)ln(1-x)

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e, para |x| < 1, a soma da série é:
S(x)=x+(1-x)ln(1-x)

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