Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
sumn=1^+infty 3 nn+2 x^n

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma da série sumn=1^+infty 3nn+2x^n e encontrar seu raio de convergência, usando o fato de que sumn=1^+inftyx^n=x1-x para |x|<1. Vamos aplicar técnicas de séries de potências e funções geradoras.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos, por exemplo, o critério da razão. Note que an=3nn+2x^n e
|an+1an| =|3(n+1)n+3cdotn+23ncdot x| xrightarrow[ntoinfty]|x|
A série converge se |x|<1, logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Para somar a série, observe que podemos decompor o termo geral:
3nn+2 =3,-6n+2
Então
sumn=1^infty3nn+2x^n =3sumn=1^inftyx^n -6sumn=1^inftyx^nn+2

Passo 4

A primeira soma é simples:
3sumn=1^inftyx^n =3x1-x
Para a segunda, fazemos mudança de índice m=n+2, assim n=m-2 e n=1mapsto m=3:
sumn=1^inftyx^nn+2 =summ=3^inftyx^m-2m =x^-2summ=3^inftyx^mm
E sabemos que para |x|<1
summ=1^inftyx^mm=-ln(1-x)
Logo
summ=3^inftyx^mm =-ln(1-x)-x-x^22
Portanto
sumn=1^inftyx^nn+2 =x^-2l(-ln(1-x)-x-x^22r)

Passo 5

Agora voltamos à soma original:
sumn=1^infty3nn+2x^n =3x1-x -6,x^-2l(-ln(1-x)-x-tfracx^22r)
Desenvolvendo,
-6x^-2l(-ln(1-x)-x-tfracx^22r) =6x^-2ln(1-x)+6x^-1+3
Somando com 3x/(1-x) e simplificando o termo racional,
3x1-x+3=31-x,
obtemos a forma final abaixo.

Passo 6

O resultado final, válido para |x|<1, fica:

Passo 7

sumn=1^infty3nn+2x^n =31-x+6x+6x^2ln(1-x)

Resposta

Raio de convergência: R=1. Para |x|<1,
sumn=1^infty3nn+2x^n=31-x+6x+6x^2ln(1-x)

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