Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=1^+infty(n^2+1)x^n dentro do seu domínio de convergência. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar as somas conhecidas de sum x^n, sum n x^n e sum n^2 x^n, além de determinar o raio de convergência.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em an = (n^2+1)x^n: calculamos limntoinftyl|an+1/anr|=|x|. Logo, a série converge se |x|<1. Assim, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Lembramos as somas conhecidas para |x|<1:
sumn=1^+inftyx^n=x1-x,
sumn=1^+inftyn x^n=x(1-x)^2,
sumn=1^+inftyn^2 x^n=x(1+x)(1-x)^3

Passo 4

Agora escrevemos
sumn=1^+infty(n^2+1)x^n =sumn=1^+inftyn^2 x^n+sumn=1^+inftyx^n =x(1+x)(1-x)^3+x1-x

Passo 5

Para combinar em um único quociente, colocamos tudo sobre (1-x)^3:
x(1+x)(1-x)^3+x1-x =x(1+x)+x(1-x)^2(1-x)^3 =xl(1+x+1-2x+x^2r)(1-x)^3 =xl(x^2-x+2r)(1-x)^3

Passo 6

Portanto, para |x|<1, a soma da série é dada por essa expressão.

Resposta

sumn=1^+infty(n^2+1)x^n=xl(x^2 - x + 2r)(1-x)^3, |x|<1

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