Lembramos que para todo
temos
. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de potências, para |x|<1, a função
, usando a série geométrica
. O conteúdo principal envolve divisão polinomial, frações parciais e reconhecimento de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro observamos que o numerador e o denominador têm o mesmo grau, então fazemos divisão polinomial:
Calculamos o resto da divisão:
Logo
Passo 3
Agora fazemos frações parciais em
. Igualando numeradores:
Comparando coeficientes em
Daí
e
. Assim
Passo 4
Para |x|<1, usamos a série geométrica na forma
:
- Para
. - Para
.
Passo 5
Substituindo em
e separando o termo
:
Como
e análogo para
, simplificamos o termo constante e chegamos a