Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
x^2-3x^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de potências, para |x|<1, a função f(x)=x^2-3x^2-4x+3, usando a série geométrica sumn=1^inftyx^n=x1-x. O conteúdo principal envolve divisão polinomial, frações parciais e reconhecimento de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro observamos que o numerador e o denominador têm o mesmo grau, então fazemos divisão polinomial:
x^2-3x^2-4x+3=1+(x^2-3)-(x^2-4x+3)x^2-4x+3
Calculamos o resto da divisão:
(x^2-3)-(x^2-4x+3)=4x-6
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x^2-3x^2-4x+3=1+4x-6(x-1)(x-3)

Passo 3

Agora fazemos frações parciais em 4x-6(x-1)(x-3)=Ax-1+Bx-3. Igualando numeradores:
A(x-3)+B(x-1)=4x-6
Comparando coeficientes em x e termo constante, obtemos
A+B=4, -3A-B=-6
Daí A=1 e B=3. Assim
4x-6(x-1)(x-3)=1x-1+3x-3

Passo 4

Para |x|<1, usamos a série geométrica na forma 11-u=sumn=0^infty u^n:
  • Para 1x-1=-11-x=-sumn=0^infty x^n.
  • Para 3x-3=-3311-x3=-sumn=0^inftyl(x3r)^n.

Passo 5

Substituindo em f(x)=1+1x-1+3x-3 e separando o termo n=0:
f(x)=1-sumn=0^infty x^n-sumn=0^inftyl(x3r)^n
Como sumn=0^infty x^n=1+sumn=1^infty x^n e análogo para x/3, simplificamos o termo constante e chegamos a
f(x)=-1-sumn=1^inftygl(1+3^-ngr)x^n

Resposta

f(x)= -1-sumn=1^inftyl(1+3^-nr)x^n, válido para |x|<1.

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