• Nos Problemas 35-40, mostre que a função f é descontínua no ponto especificado.
    f(z)=z^2+1z+i ; z0=-i

Passo 1

Temos a função f:Csetminus-itoC definida por f(z)=z^2+1z+i e queremos provar que ela é descontínua em z0=-i. O conteúdo aqui é limite e continuidade de funções complexas; vamos usar definição de continuidade e simplificação algébrica.

Passo 2

Observamos que em z0=-i o denominador z+i fica nulo, ou seja, f(-i) não está definida. Como requisito de continuidade é preciso que f(z0) exista, já sinaliza descontinuidade.

Passo 3

Para entender o comportamento de f perto de z=-i, fatoramos o numerador:
z^2+1=(z+i)(z-i)

Passo 4

Para zneq -i podemos cancelar (z+i) e obter
f(z)=z-i, o que nos permite calcular o limite quando zto -i:
limzto -if(z)=limzto -i(z-i)=(-i)-i=-2i

Passo 5

Mesmo existindo esse limite, a função não está definida em z0=-i, logo não satisfaz a definição de continuidade naquele ponto.

Resposta

A função é descontínua em z0=-i pois, embora limzto -if(z)=-2i exista, f(-i) não está definido (denominador nulo), caracterizando descontinuidade removível.

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