Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
f(z)=Re(z)z+i z-2 z^2 ; z0=e^i pi / 4

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=Re(z)z+i z-2z^2
e pede para mostrar que f é contínua em
z0=e^ipi/4
O conteúdo é continuidade de funções complexas usando que soma, produto e quociente de funções contínuas são contínuas quando o denominador não se anula.

Passo 2

Observamos que
z + i z = z(1+i)
Logo podemos reescrever
f(z)=Re(z)z(1+i) - 2z^2
em z0=e^ipi/4 temos z0(1+i)=raiz2ineq0, garantindo que o denominador não se anula nesse ponto.

Passo 3

Sabemos que a função parte real Re(z), a função identidade zmapsto z e o polinômio 2z^2 são contínuos em C. Além disso, a divisão por uma função contínua que não se anula preserva a continuidade. Portanto
g(z)=Re(z)z(1+i)
e
h(z)=2z^2
são contínuas em z0.

Passo 4

Como f(z)=g(z)-h(z) e a diferença de funções contínuas é contínua, concluímos que f é contínua em z0=e^ipi/4.

Resposta

A função f é contínua em z0=e^ipi/4.

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