Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
integral0^x t^2-3t^2-4 t+3 d t (dica : voce pode usar frações parciais)

Passo 1

A gente quer desenvolver em série de potências a função
I(x)=integral0^xt^2-3t^2-4t+3,dt,
sabendo que para |x|<1
sumn=1^inftyx^n=x1-x
Vamos usar divisão polinomial, frações parciais, integração e depois as expansões de ln.

Passo 2

O numerador t^2-3 tem o mesmo grau do denominador t^2-4t+3=(t-1)(t-3), então fazemos divisão polinomial:
t^2-3t^2-4t+3=1+(t^2-3)-(t^2-4t+3)t^2-4t+3 =1+4t-6(t-1)(t-3)

Passo 3

Agora decompondo
4t-6(t-1)(t-3)=At-1+Bt-3
Igualando numeradores: 4t-6=A(t-3)+B(t-1)=(A+B)t-(3A+B). Logo
A+B=4, -3A-B=-6 Rightarrow A=1, B=3
Portanto
t^2-3t^2-4t+3=1+1t-1+3t-3

Passo 4

Integramos de 0 até x:
I(x)=integral0^x1,dt+integral0^x1t-1dt+3integral0^x1t-3dt
Isso dá
I(x)=x+l[ln|t-1|r]0^x+3l[ln|t-3|r]0^x =x+ln(1-x)+3lnl(3-x3r)

Passo 5

Agora usamos as séries conhecidas para |x|<1:
ln(1-x)=-sumn=1^inftyx^nn,
lnl(3-x3r)=lnl(1-x3r)=-sumn=1^inftyx^nn,3^n
Substituindo em I(x) obtemos
I(x)=x-sumn=1^inftyx^nn-3sumn=1^inftyx^nn,3^n

Passo 6

Esse resultado é a expansão em série de potências válida em |x|<1.

Resposta

I(x)=x-sumn=1^inftyx^nn-3sumn=1^inftyx^nn,3^n,|x|<1

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