• Nos Problemas 35-40, mostre que a função f é descontínua no ponto especificado.
    f(z)=1|z|-1 ; z0=i

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(z)=1|z|-1 e queremos mostrar que ela é descontínua no ponto z0=i. O conteúdo envolve continuidade de funções de variável complexa, módulo de número complexo e limites.

Passo 2

Definição de continuidade: f é contínua em z0 se limzto z0f(z)=f(z0). Avaliando em z0=i temos
f(i)=1|i|-1=11-1=10,
o que é indefinido. Logo f nem está definida em i, indicando já uma quebra de continuidade.

Passo 3

Para investigar o limite, aproxime zto i vindo de fora do círculo de raio 1. Defina a sequência
zn=l(1+tfrac1nr)i
Então
|zn|=1+tfrac1n>1,
f(zn)=1(1+tfrac1n)-1=n,
o que implica limntoinftyf(zn)=+infty.

Passo 4

Agora aproxime vindo de dentro do círculo, definindo
wn=l(1-tfrac1nr)i
Então
|wn|=1-tfrac1n<1,
f(wn)=1(1-tfrac1n)-1=-n,
logo limntoinftyf(wn)=-infty.

Passo 5

Como as aproximações geram limites distintos ( +infty e -infty) e ainda f(i) é indefinido, concluímos que limzto if(z) não existe de forma única e finita, portanto f é descontínua em i.

Resposta

A função f é descontínua em z0=i.

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