Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de potências a função f(x)=arctanl(tfracx,sin21 - x,cos2r). Estamos em |x|<1 e vamos usar séries geométricas e propriedades de derivação e integração de séries.

Passo 2

Para simplificar, definimos u(x)=tfracx,sin21 - x,cos2. Então f(x)=arctan(u(x)) e sua derivada é dada por f'(x)=u'(x)1+u(x)^2. Calculando u'(x) e 1+u^2 obtemos
u'(x)=sin2(1 - xcos2)^2, 1+u(x)^2=(1 - xcos2)^2 + x^2sin^2 2(1 - xcos2)^2=1 - 2xcos2 + x^2(1 - xcos2)^2

Passo 3

Substituindo,
f'(x)=sin21 - 2xcos2 + x^2

Passo 4

Agora usamos a identidade com exponenciais:
sin21 - 2xcos2 + x^2=e^i2-e^-i22i;1(1-xe^i2)(1-xe^-i2)

Passo 5

Expandindo cada termo como série geométrica e fazendo a diferença, achamos
f'(x)=summ=0^inftysinl(2(m+1)r),x^m

Passo 6

Por fim, integramos termo a termo de 0 a x:
f(x)=integral0^x f'(t),dt=summ=0^inftysinl(2(m+1)r)integral0^x t^m,dt=summ=0^inftysin(2(m+1))m+1;x^m+1

Passo 7

Fazendo n=m+1, obtemos
f(x)=sumn=1^inftysin(2n)n;x^n

Resposta

sumn=1^inftysin(2n)n,x^n

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