• Nos Problemas 35-40, mostre que a função f é descontínua no ponto especificado.
    f(z)=Arg(z) ; z=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função de argumento principal não é contínua no ponto f(z)=Arg(z). O conteúdo envolve continuidade de funções de variável complexa e a definição do argumento principal, cujo valor está em z=-1.

Passo 2

Lembrando que, para ser contínua em z0, a função deve ter limzto z0f(z)=f(z0). No nosso caso, , pois o ângulo de f(-1)=Arg(-1)=pi é -1+0i. Vamos mostrar que ao nos aproximarmos de pi por direções diferentes, os limites são diferentes.

Passo 3

Primeiro, aproximando z de -1 pela metade superior do plano (imaginação positiva). Seja z=-1+ivarepsilon com varepsilon>0 pequeno. Então

onde Arg(-1+ivarepsilon)=pi-de tende a zero conforme de0. Logo

Passo 4

Agora, aproximando pela metade inferior (imaginação negativa), tome z=-1-ivarepsilon com varepsilon>0 pequeno. Então

Passo 5

onde de0 também tende a zero conforme varepsilonto0^+. Logo

Passo 6

Como pineq-pi, os limites laterais ao se aproximar de -1 não coincidem, logo não existe e não pode ser igual a . Isso mostra a descontinuidade em limzto-1Arg(z).

Resposta

A função é descontínua em f(z)=Arg(z), pois os limites pelas metades superior e inferior do plano complexo são diferentes ( z=-1 e pi, respectivamente).

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