- Nos Problemas 35-40, mostre que a função
é descontínua no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função de argumento principal não é contínua no ponto
. O conteúdo envolve continuidade de funções de variável complexa e a definição do argumento principal, cujo valor está em
.
Passo 2
Lembrando que, para ser contínua em
, a função deve ter
. No nosso caso, , pois o ângulo de
é
. Vamos mostrar que ao nos aproximarmos de
por direções diferentes, os limites são diferentes.
Passo 3
Primeiro, aproximando
de
pela metade superior do plano (imaginação positiva). Seja
com
pequeno. Então
onde
Passo 4
Agora, aproximando pela metade inferior (imaginação negativa), tome
com
pequeno. Então
Passo 5
onde
também tende a zero conforme
. Logo
Passo 6
Como
, os limites laterais ao se aproximar de
não coincidem, logo não existe e não pode ser igual a . Isso mostra a descontinuidade em
.
Resposta
A função é descontínua em
, pois os limites pelas metades superior e inferior do plano complexo são diferentes (
e
, respectivamente).