Lembramos que para todo temos e . Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
Passo 1
O exercício pede para calcular a soma de potências e determinar seu raio de convergência. Vamos usar o fato de que as séries de Taylor de , e são dadas por:
Passo 2
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em :
Como o limite é zero para todo x, o raio de convergência é R=+infty e a série converge para todo xinR.
Passo 3
Vamos agora encontrar uma expressão fechada. Note que, se omegak são as 4 raízes da unidade (1,i,-1,-i), então
14sumk=0^3e^omegak x =sumn=0^+inftyx^nn!14sumk=0^3(omegak)^n
Mas sumk=0^3(omegak)^n=4 se n for múltiplo de 4 e zero caso contrário. Logo essa soma filtra exatamente os termos n=4m:
14l(e^x+e^-x+e^ix+e^-ixr) =summ=0^+inftyx^4m(4m)!
Passo 4
Basta finalmente simplificar a combinação de exponenciais em funções conhecidas: