Lembramos que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!= sen x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
sumn=0^+infty x^4 n(4 n)!

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma de potências sumn=0^+infty x^4n(4n)! e determinar seu raio de convergência. Vamos usar o fato de que as séries de Taylor de e^x, cos x e sin x são dadas por:
  • e^x=sumn=0^+inftyx^nn!
  • cos x=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n(2n)!
  • sin x=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em an=x^4n(4n)!:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^4(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)=0
Como o limite é zero para todo x, o raio de convergência é R=+infty e a série converge para todo xinR.

Passo 3

Vamos agora encontrar uma expressão fechada. Note que, se omegak são as 4 raízes da unidade ( 1,i,-1,-i), então
14sumk=0^3e^omegak x =sumn=0^+inftyx^nn!14sumk=0^3(omegak)^n
Mas sumk=0^3(omegak)^n=4 se n for múltiplo de 4 e zero caso contrário. Logo essa soma filtra exatamente os termos n=4m:
14l(e^x+e^-x+e^ix+e^-ixr) =summ=0^+inftyx^4m(4m)!

Passo 4

Basta finalmente simplificar a combinação de exponenciais em funções conhecidas:
e^x+e^-x=2cosh x, e^ix+e^-ix=2cos x
Então
sumn=0^+inftyx^4n(4n)! =14l(2cosh x+2cos xr) =cosh x+cos x2

Resposta

O raio de convergência é R=+\infty e, para todo x\in\mathbb{R},
sumn=0^+inftyx^4n(4n)!=cosh x+cos x2

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