Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
f(z)=z^3-1z ; z0=3 i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=z^3-1z é contínua no ponto z0=3i. O conteúdo é continuidade de funções complexas e vamos usar a definição epsilon- de.

Passo 2

Seja arbitrário epsilon>0. Queremos achar de0 tal que, sempre que |z-z0|, tenhamos |f(z)-f(z0)|.
Primeiro note que
|f(z)-f(z0)|=l|z^3-z0^3-l(1z-1z0r)r|<= |z^3-z0^3|+l|1z-1z0r|

Passo 3

Para estimar |z^3-z0^3|, use a fatoração de soma de cubos:
|z^3-z0^3|=|z-z0|,|z^2+zz0+z0^2|
Se escolhermos de, então |z-z0|<1 implica |z|<|z0|+1=4. Assim
|z^2+zz0+z0^2| <= |z|^2+|z|,|z0|+|z0|^2 <4^2+4cdot3+3^2=16+12+9=37,
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|z^3-z0^3|<= 37,|z-z0|

Passo 4

Agora para l|1z-1z0r|:
l|1z-1z0r| =|z-z0||z|,|z0|
Como |z-z0|<1 e |z0|=3, segue |z|>3-1=2. Portanto
1|z|,|z0|<= 12cdot3=16
e
l|1z-1z0r|<= 16,|z-z0|

Passo 5

Juntando as duas estimativas:
|f(z)-f(z0)|<= 37,|z-z0|+16,|z-z0| =2236,|z-z0|
Para garantir |f(z)-f(z0)|, basta escolher
de
Então, sempre que |z-z0| teremos |f(z)-f(z0)|, mostrando a continuidade.

Passo 6

Como conseguimos para todo epsilon>0 um de0 que satisfaz a definição, concluímos que f é contínua em z0=3i.

Resposta

A função f é contínua em z_{0}=3i.

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