Nos Problemas 27-34, mostre que a função
é contínua no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua no ponto
. O conteúdo é continuidade de funções complexas e vamos usar a definição
-
.
Passo 2
Seja arbitrário
. Queremos achar
tal que, sempre que
, tenhamos
.
Primeiro note que
Primeiro note que
Passo 3
Para estimar
|z^3-z0^3| , use a fatoração de soma de cubos:
Se escolhermos
de , então
|z-z0|<1 implica
|z|<|z0|+1=4 . Assim
logo
Passo 4
Agora para
l|1z-1z0r| :
Como
|z-z0|<1 e
|z0|=3 , segue
|z|>3-1=2 . Portanto
e
Passo 5
Juntando as duas estimativas:
Para garantir
|f(z)-f(z0)| , basta escolher
Então, sempre que
|z-z0| teremos
|f(z)-f(z0)| , mostrando a continuidade.
Passo 6
Como conseguimos para todo
epsilon>0 um
de0 que satisfaz a definição, concluímos que
f é contínua em
z0=3i .
Resposta
A função f é contínua em z_{0}=3i.