Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
f(z)=z^3z^3+3 z^2+z ; z0=i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=z^3z^3+3z^2+z é contínua no ponto z0=i. O conteúdo envolvido é continuidade de funções complexas definidas por polinômios e quocientes de polinômios.

Passo 2

Sabemos que polinômios em C são funções contínuas, e que soma e produto de funções contínuas são contínuos. Além disso, o quociente de duas funções contínuas é contínuo em qualquer ponto onde o denominador não se anula. Logo, f é contínua em todo ponto onde z^3+3z^2+zneq0.

Passo 3

Vamos calcular o valor do denominador em z=i:
i^3+3i^2+i = (-i) + 3(-1) + i = -i -3 + i = -3

Passo 4

Como -3neq0, o denominador em z0=i não se anula. Portanto existe uma vizinhança de i em que f está bem definida e é quociente de polinômios contínuos.

Passo 5

Concluímos que f é contínua no ponto z0=i por ser um quociente de polinômios com denominador não nulo ali.

Resposta

A função é contínua em z0=i pois o denominador z^3+3z^2+z avaliado em i é -3neq0, e quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não se anula.

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