Mostre, usando a definição (ou seja, via epsilon e de ), que a função dada é contínua no ponto dado.
f(x)=1x em p=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=1/x é contínua em p=1, usando a definição varepsilon- de: para todo varepsilon>0 devemos encontrar de0 tal que, se |x-1|, então |f(x)-f(1)|.

Passo 2

Vamos começar calculando a diferença entre f(x) e f(1). Temos
|f(x)-f(1)| = |1x - 1| = |1 - xx| = |x-1||x|

Passo 3

Para controlar o denominador |x|, fazemos uma restrição extra: suponha de. Então, se |x-1|, obtemos
|x-1|<1/2 implies 1 - 1/2 < x < 1 + 1/2 implies 1/2 < x < 3/2, daí |x|>1/2 e portanto
|f(x)-f(1)| = |x-1||x| < |x-1|1/2 = 2|x-1|

Passo 4

Agora queremos 2|x-1|. Basta garantir
|x-1| < varepsilon2

Passo 5

Logo, se escolhermos
deentão sempre que |x-1| teremos |f(x)-f(1)|<2|x-1|<=2de. Isso mostra a continuidade de f em x=1.

Resposta

Para qualquer varepsilon>0, tomando de, garantimos que |x-1| implica |f(x)-f(1)|. Assim, f(x)=1/x é contínua em x=1.

Exercícios relacionados