Lembramos que para todo
temos
e
. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
a.
b.
a.
b.
Passo 1
O exercício pede pra desenvolver em série de potências duas funções usando as séries conhecidas de
,
e
.
Passo 2
Pra parte (a), começamos com a série de
, que é
Substituímos
por
, obtendo
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
até
. Como a soma converge uniformemente em todo
, podemos trocar soma e integral. Ficamos com
Passo 4
Pra parte (b), escrevemos as séries de
e
:
Subtraímos termo a termo:
Passo 5
Por fim, dividimos por
e observamos que o termo de ordem
na diferença cancela, então podemos reescrever como duas somas começando em
:
Passo 6
Esses resultados são as séries de potências pedidas.
Resposta
Para (a):
Para (b):