Lembramos que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!= sen x. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
a. e^x-cos xx
b.

Passo 1

O exercício pede pra desenvolver em série de potências duas funções usando as séries conhecidas de e^x, cos x e sin x.

Passo 2

Pra parte (a), começamos com a série de sin x, que é
sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!
Substituímos x por t^2, obtendo
sin(t^2)=sumn=0^infty(-1)^n(t^2)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^nt^4n+2(2n+1)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x. Como a soma converge uniformemente em todo R, podemos trocar soma e integral. Ficamos com
integral0^xsin(t^2),dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^4n+2(2n+1)!,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(4n+3),(2n+1)!

Passo 4

Pra parte (b), escrevemos as séries de e^x e cos x:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!, cos x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
Subtraímos termo a termo:
e^x-cos x =sumn=0^inftyx^nn!-sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 5

Por fim, dividimos por x e observamos que o termo de ordem x^0 na diferença cancela, então podemos reescrever como duas somas começando em n=1:
e^x-cos xx =sumn=1^inftyx^n-1n!-sumn=1^infty(-1)^nx^2n-1(2n)!

Passo 6

Esses resultados são as séries de potências pedidas.

Resposta

Para (a):
integral0^xsin(t^2),dt =sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(4n+3),(2n+1)!
Para (b):
e^x-cos xx =sumn=1^inftyx^n-1n!-sumn=1^infty(-1)^nx^2n-1(2n)!

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