• Nos Problemas 35-40, mostre que a função f é descontínua no ponto especificado.
    f(z)=Arg(i z) ; z0=i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f definida por f(z)=Arg(i z) é descontínua em z₀=i. O conteúdo envolve a definição do argumento principal de um número complexo e a noção de limite (continuidade) em ℂ.

Passo 2

Primeiro, avaliamos f em z₀=i. Temos i·i=−1, logo

Passo 3

Em seguida, escolhemos duas sequências zₙ→i que produzam valores de f(zₙ) aproximando-se de ângulos diferentes. Por exemplo, tome zₙ=i+\tfrac1n. Então
i,zₙ=il(i+tfrac1nr)=-1+tfracin

Passo 4

Para n grande, -1+\tfrac{i}{n} está no segundo quadrante e

Passo 5

Agora, tome outra sequência wₙ=i-\tfrac1n. Então
i,wₙ=il(i-tfrac1nr)=-1-tfracin,

Passo 6

que fica no terceiro quadrante e tem

Passo 7

Como os limites das imagens via f ao longo dessas duas sequências são π e -π (diferentes entre si e diferentes de f(i)=π), não existe limite único de f(z) quando z→i.
Portanto, f não é contínua em z₀=i.

Resposta

A função f é descontínua em z₀=i.

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