- Nos Problemas 35-40, mostre que a função
é descontínua no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f definida por f(z)=Arg(i z) é descontínua em z₀=i. O conteúdo envolve a definição do argumento principal de um número complexo e a noção de limite (continuidade) em ℂ.
Passo 2
Primeiro, avaliamos f em z₀=i. Temos i·i=−1, logo
Passo 3
Em seguida, escolhemos duas sequências zₙ→i que produzam valores de f(zₙ) aproximando-se de ângulos diferentes. Por exemplo, tome zₙ=i+\tfrac1n. Então
Passo 4
Para n grande, -1+\tfrac{i}{n} está no segundo quadrante e
Passo 5
Agora, tome outra sequência wₙ=i-\tfrac1n. Então
Passo 6
que fica no terceiro quadrante e tem
Passo 7
Como os limites das imagens via f ao longo dessas duas sequências são π e -π (diferentes entre si e diferentes de f(i)=π), não existe limite único de f(z) quando z→i.
Portanto, f não é contínua em z₀=i.
Portanto, f não é contínua em z₀=i.
Resposta
A função f é descontínua em z₀=i.