Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=0^+infty x^n=11-x. Lembramos que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=sen x. Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência (depois de achar o raio de convergência) :

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=0^+infty (n^2+1)x^n, primeiro encontrando o raio de convergência e depois achando uma forma fechada usando séries-padrão (geométrica e suas derivadas).

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão a an=(n^2+1)x^n:
L=limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x|(n+1)^2+1n^2+1=|x|
Logo, a série converge se |x|<1, ou seja, o raio é R=1.

Passo 3

Recordamos séries conhecidas para |x|<1:
  1. Série geométrica:
sumn=0^+inftyx^n=11-x
2) Derivando em x e multiplicando por x:
sumn=1^+inftyn,x^n-1=1(1-x)^2impliessumn=0^+inftyn,x^n=x(1-x)^2
  1. Derivando novamente e reorganizando, obtemos
sumn=0^+inftyn^2x^n=x(1+x)(1-x)^3

Passo 4

Agora somamos as duas partes:
sumn=0^+infty(n^2+1)x^n=sumn=0^+inftyn^2x^n+sumn=0^+inftyx^n=x(1+x)(1-x)^3+11-x
Colocando no mesmo denominador (1-x)^3 e simplificando, vem
x(1+x)+(1-x)^2(1-x)^3=2x^2 - x +1(1-x)^3

Resposta

sumn=0^+infty(n^2+1)x^n=2x^2 - x +1(1-x)^3, |x|<1

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