Lembramos que para todo temos . Lembramos que para todo temos e . Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência (depois de achar o raio de convergência) :
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série , primeiro encontrando o raio de convergência e depois achando uma forma fechada usando séries-padrão (geométrica e suas derivadas).
Passo 2
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão a :
Logo, a série converge se |x|<1, ou seja, o raio é R=1.
Passo 3
Recordamos séries conhecidas para |x|<1:
Série geométrica:
sumn=0^+inftyx^n=11-x
2) Derivando em x e multiplicando por x: sumn=1^+inftyn,x^n-1=1(1-x)^2impliessumn=0^+inftyn,x^n=x(1-x)^2
Derivando novamente e reorganizando, obtemos
sumn=0^+inftyn^2x^n=x(1+x)(1-x)^3
Passo 4
Agora somamos as duas partes:
sumn=0^+infty(n^2+1)x^n=sumn=0^+inftyn^2x^n+sumn=0^+inftyx^n=x(1+x)(1-x)^3+11-x
Colocando no mesmo denominador (1-x)^3 e simplificando, vem x(1+x)+(1-x)^2(1-x)^3=2x^2 - x +1(1-x)^3