lim z i z^2+1z^2+z+1-i

Passo 1

O enunciado pede o limite de z^2+1z^2+z+1-i quando zto i. O tema é funções de variável complexa e tratamento de indeterminação 0/0, e vamos precisar factorizar numerador e denominador para cancelar o fator comum.

Passo 2

Primeiro, testamos a substituição direta de z=i: o numerador fica i^2+1=-1+1=0 e o denominador fica i^2+i+1-i=-1+i+1-i=0. Logo temos uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, fatoramos o numerador z^2+1. Como z^2+1=(z-i)(z+i), podemos escrever
z^2+1=(z-i)(z+i)

Passo 4

Agora fatoramos o denominador z^2+z+1-i. Como i anula esse polinômio, usamos divisão sintética por z-i, obtendo o quociente z+(1+i). Assim
z^2+z+1-i=(z-i)(z+1+i)

Passo 5

Com isso a função simplifica para
z^2+1z^2+z+1-i=(z-i)(z+i)(z-i)(z+1+i)=z+iz+1+i, zneq i

Passo 6

Finalmente, substituímos z=i na forma simplificada:
i+ii+1+i=2i1+2i

Passo 7

Para terminar, racionalizamos multiplicando por 1-2i em cima e embaixo:
2i1+2icdot1-2i1-2i=2i(1-2i)1+4=2i-4i^25=2i+45=4+2i5

Resposta

4+2i5

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