Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
f(z)=z^2-i z+3-2 i ; z0=2-i

Passo 1

Estamos com a função complexa f:CtoC dada por f(z)=z^2-i z+3-2i e queremos mostrar que ela é contínua no ponto z0=2-i. O conteúdo aqui é continuidade de polinômios em C, e vamos usar um argumento varepsilon- de.

Passo 2

Vamos calcular a diferença f(z)-f(z0) para ver como ela se comporta quando zto z0. Temos:
f(z)-f(z0)=l(z^2-i z+3-2ir)-l(z0^2-i z0+3-2ir)

Passo 3

Isolando,
f(z)-f(z0)=z^2-z0^2-i(z-z0)=(z-z0)(z+z0)-i(z-z0)=(z-z0)(z+z0-i)

Passo 4

Isso nos dá a estimativa em módulo:
|f(z)-f(z0)|=|z-z0|,|z+z0-i|

Passo 5

Para controlar |z+z0-i|, note que
z+z0-i=(z-z0)+(2z0-i),
logo se |z-z0|<1 então
|z+z0-i|<=|z-z0|+|2z0-i|<1+|2z0-i|

Passo 6

Como z0=2-i, temos 2z0-i=4-3i e |4-3i|=5. Então podemos tomar
M=1+5=6
e obter
|f(z)-f(z0)|<6|z-z0|

Passo 7

Dado varepsilon>0, basta escolher
de
para garantir que se |z-z0| então
|f(z)-f(z0)|<6|z-z0|<6cdotvarepsilon6=varepsilon

Passo 8

Logo limzto z0f(z)=f(z0) e, por definição, f é contínua em z0.

Resposta

A função f é contínua em z₀ = 2 − i.

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