Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :

Passo 1

No enunciado precisamos calcular a série de potência
S(x)=∑_{n=1}^{∞} \frac{en+e{-n}}{2},x^n
no seu domínio de convergência, usando fato de série geométrica.
Vamos usar teoria de séries de potências, teste da razão para achar o raio de convergência e fórmula
sumn=1^∞q^n=q1-q, |q|<1

Passo 2

Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão em
an=e^n+e^-n2x^n
Calculamos
L=limnto∞|an+1an| =|x|limnto∞e^n+1+e^-(n+1)e^n+e^-n =|x|,e
Logo converge se L<1, isto é
|x|<1e

Passo 3

Escrevemos e^n+e^-n2=cosh n mas é mais útil separar em duas séries geométricas:
S(x)=12sumn=1^∞(e^n x^n)+12sumn=1^∞(e^-nx^n) =12sumn=1^∞(e x)^n+12sumn=1^∞l(xer)^n
A primeira requer |ex|<1 e a segunda |x/e|<1. A condição dominante é |x|<1/e.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da série geométrica:
sumn=1^∞(ex)^n=ex1-ex, sumn=1^∞l(xer)^n=x/e1-x/e
Então
S(x)=12ex1-ex+12x/e1-x/e
Simplificando a segunda fração:
x/e1-x/e=xe-x,
vemos que
S(x)=ex2(1-ex)+x2(e-x), |x|<1e

Resposta

sumn=1^+infty e^n+e^-n2 x^n = ex2(1-ex) + x2(e-x), |x|<1e

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