Lembrando que (e^x)^prime=e^x,(sen x)^prime=cos x e (cos x)^prime=-sen x, calcule as derivadas das funções:
f(x)=5e^x cos x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=5e^xcos x. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, regra do produto, regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, reescrevemos a função como produto de exponencial negativa e secante:
f(x)=5e^xcos x=5e^-xcdotsec x
Assim transformamos o problema em derivar um produto.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz que para f(x)=u(x)cdot v(x) temos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Também usaremos a regra da cadeia e as derivadas padrão de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 4

Calculamos as derivadas de cada fator. Para u(x)=e^-x, pela regra da cadeia:
u'(x)=ddxe^-x=e^-xcdot(-1)=-e^-x
Para v(x)=sec x, lembrando que sec x=(cos x)^-1:
v'(x)=sec xtan x.

Passo 5

Substituímos na regra do produto e multiplicamos por 5:
f'(x)=5l(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)r)
Agora colocando u'(x), u(x), v'(x) e v(x):
f'(x)=5l((-e^-x)sec x+e^-x(sec xtan x)r).

Passo 6

Fatoramos 5e^-xsec x para simplificar o resultado:
f'(x)=5e^-xsec x(tan x-1).

Resposta

f'(x)=5e^-xsec x(tan x-1)

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