Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções abaixo: f(t)=e^2 t cos t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^2tcos t
usando a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t),e^-s t,dt
Vamos precisar reconhecer uma integral do tipo
integral0^inftye^-a tcos(bt),dt

Passo 2

Aplicamos a definição de Laplace:
Le^2tcos t(s) =integral0^inftye^2tcos t;e^-s t,dt =integral0^inftye^-(s-2)tcos t,dt
Aqui identificamos a=s-2 e b=1.

Passo 3

Usamos o resultado conhecido (válido para Re(a)>0):
integral0^inftye^-a tcos(bt),dt=aa^2+b^2
Substituindo a=s-2 e b=1 obtemos
integral0^inftye^-(s-2)tcos t,dt =s-2(s-2)^2+1

Passo 4

Verificamos a região de convergência exigida pelo passo de usar Re(a)>0:
Re(s-2)>0LongrightarrowRe(s)>2

Resposta

Le^2tcos t(s) =s-2(s-2)^2+1, Re(s)>2

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