Lembrando que √[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} e a^{-1}=\frac{1}{a}, calcule as seguintes integrais
\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \ln (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\,\ln(3x)\,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, e antes vamos usar a regra
\sqrt[3]{x^{2}}=x^{\frac{2}{3}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=x^{-\frac{2}{3}}.

Passo 2

Reescrevendo o integrando, a integral fica
\int x^{-\frac{2}{3}}\ln(3x)\,dx.

Passo 3

Escolhemos integração por partes com
u = \ln(3x),\quad dv = x^{-\frac{2}{3}}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx,
e para obter v calculamos
v = \int x^{-\frac{2}{3}}\,dx = \frac{x^{1-\frac{2}{3}}}{1-\tfrac{2}{3}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\tfrac{1}{3}} = 3\,x^{\frac{1}{3}}.

Passo 4

Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int x^{-\frac{2}{3}}\ln(3x)\,dx = 3\,x^{\frac{1}{3}}\ln(3x) - \int 3\,x^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{x}\,dx = 3\,x^{\frac{1}{3}}\ln(3x) - 3\int x^{-\frac{2}{3}}\,dx.

Passo 5

Já sabemos que
\int x^{-\frac{2}{3}}\,dx =3\,x^{\frac{1}{3}},
logo
-3\int x^{-\frac{2}{3}}\,dx = -3\cdot\bigl(3\,x^{\frac{1}{3}}\bigr) = -9\,x^{\frac{1}{3}}.
Somando tudo, a primitiva fica
3\,x^{\frac{1}{3}}\ln(3x)\;-\;9\,x^{\frac{1}{3}}+C.

Resposta

3\,x^{\frac{1}{3}}\ln(3x)\;-\;9\,x^{\frac{1}{3}}+C.

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