Questão 5. (6pts) Encontre a Série de Taylor gerada por f(x) em x=a.
f(x)=\frac{1}{x} em x=3.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{x} em torno de x=3. O conteúdo é desenvolvimento em série de potências (Taylor) e vamos usar a identificação com série geométrica para funções da forma \frac{1}{1+u}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável h=x-3, de modo que
f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{3+h} =\frac{1}{3}\,\frac{1}{1+\frac{h}{3}}\,.

Passo 3

Sabemos que, para \lvert u\rvert<1,
\frac{1}{1+u} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Aqui u=\frac{h}{3}=\frac{x-3}{3} e a condição \lvert u\rvert<1 equivale a \lvert x-3\rvert<3.

Passo 4

Substituindo na expressão de f(x) obtemos
f(x) =\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x-3}{3}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{3^{\,n+1}}(x-3)^{n}.

Resposta

\frac{1}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{3^{\,n+1}}(x-3)^{n}, \quad\text{válida para }\lvert x-3\rvert<3.á

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