Questão 1. (6pts) Quais das sequências a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\frac{n!}{100^{8 n}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n}=\frac{n!}{100^{8n}}
e determinar se ela converge ou diverge; em caso de convergência, encontrar o seu limite. O conteúdo principal aqui é teste da razão para sequências, que compara a_{n+1}/a_{n} para ver se a sequência tende a zero (converge) ou explode (diverge).

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão, isto é, calcular
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\frac{(n+1)!}{100^{8(n+1)}}}{\frac{n!}{100^{8n}}} =\frac{(n+1)!\;100^{8n}}{n!\;100^{8(n+1)}} =\frac{n+1}{100^{8}}.

Passo 3

Analisando o comportamento de
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{100^{8}},
veja que 100^{8} é uma constante (igual a 10^{16}), logo para n grande temos
\frac{n+1}{100^{8}}\to +\infty>1.
Quando a razão a_{n+1}/a_{n} excede 1 para n suficientemente grande, isso indica que a_{n} cresce sem limite e não tende a um valor finito.

Resposta

A sequência diverge, isto é, \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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