Lembrando que o Wronskiano de três funções f, g e h as quais têm primeira e segunda derivada, é definido como o determinante da matriz 3 \times 3 dada pelas funções na primeira linha, as primeiras derivadas das funções na segunda linha e as segundas derivadas na terceira, isto é,
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} f & g & h \\\ f^{\prime} & g^{\prime} & h^{\prime} \\\ f^{\prime \prime} & g^{\prime \prime} & h^{\prime \prime} \end{array}\right)
calcule o Wronskiano dos seguintes conjuntos de funções e determine o conjunto de pontos onde é diferente de zero.
\left\{\cos (x), 3 \tan (x), \operatorname{sen}(x)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano do conjunto de funções
\{\cos(x),\,3\tan(x),\,\sin(x)\} e determinar onde ele é diferente de zero.
O Wronskiano de três funções f,g,h é dado por
W(x)=\det \begin{pmatrix} f(x) & g(x) & h(x)\\\ f'(x)&g'(x)&h'(x)\\\ f''(x)&g''(x)&h''(x) \end{pmatrix}.
Vamos precisar derivar cada função até a segunda ordem e depois calcular esse determinante.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
Para f(x)=\cos(x) temos
f'(x)=-\sin(x),\quad f''(x)=-\cos(x).
Para g(x)=3\tan(x) temos
g'(x)=3\operatorname{sec}^2(x),\quad g''(x)=3\cdot2\operatorname{sec}^2(x)\tan(x)=6\operatorname{sec}^2(x)\tan(x).
Para h(x)=\sin(x) temos
h'(x)=\cos(x),\quad h''(x)=-\sin(x).

Passo 3

Escrevemos o Wronskiano como
W(x)=\det \begin{pmatrix} \cos(x) & 3\tan(x) & \sin(x)\\\\ -\sin(x)& 3\operatorname{sec}^2(x)& \cos(x)\\\\ -\cos(x)&6\operatorname{sec}^2(x)\tan(x)&-\sin(x) \end{pmatrix}.

Passo 4

Expandindo por cofactores ao longo da primeira linha:
W(x) =\cos(x)\,\det\!\begin{pmatrix}3\operatorname{sec}^2(x)&\cos(x)\\\ 6\operatorname{sec}^2(x)\tan(x)&-\sin(x)\end{pmatrix} -3\tan(x)\,\det\!\begin{pmatrix}-\sin(x)&\cos(x)\\\ -\cos(x)&-\sin(x)\end{pmatrix} +\sin(x)\,\det\!\begin{pmatrix}-\sin(x)&3\operatorname{sec}^2(x)\\\ -\cos(x)&6\operatorname{sec}^2(x)\tan(x)\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}3\operatorname{sec}^2x&\cos x\\\ 6\operatorname{sec}^2x\tan x&-\sin x\end{pmatrix} =-9\operatorname{sec}^2(x)\sin(x),
\det\begin{pmatrix}-\sin x&\cos x\\\ -\cos x&-\sin x\end{pmatrix} =\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,
\det\begin{pmatrix}-\sin x&3\operatorname{sec}^2x\\\ -\cos x&6\operatorname{sec}^2x\tan x\end{pmatrix} =3\tan(x)-6\tan^3(x).

Passo 5

Substituindo esses valores em W(x):
W(x) =\cos(x)\bigl(-9\operatorname{sec}^2(x)\sin(x)\bigr) -3\tan(x)\cdot1 +\sin(x)\bigl(3\tan(x)-6\tan^3(x)\bigr).
Como \cos(x)\operatorname{sec}^2(x)=\operatorname{sec}(x) e \sin(x)\tan(x)=\tan(x)\sin(x)/\cos(x), ao simplificar chega-se a
W(x)=-3\,\tan(x)\bigl(3+2\tan^2(x)\bigr).

Passo 6

As funções envolvidas estão definidas sempre que \cos(x)\neq0 (pois aparece \tan e \operatorname{sec}). Logo o domínio natural é
x\neq \tfrac\pi2 +k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
No interior desse domínio, W(x) anula-se exatamente quando \tan(x)=0, ou seja,
x= k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

W(x)=-3\,\tan(x)\bigl(3+2\tan^2(x)\bigr),
e W(x)\neq0 para
\cos(x)\neq0 \quad\text{e}\quad \tan(x)\neq0 \;\Longleftrightarrow\; x\neq \tfrac\pi2 +k\pi \;\text{e}\; x\neq k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

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