Lembrando que o Wronskiano de três funções f, g e h as quais têm primeira e segunda derivada, é definido como o determinante da matriz 3 \times 3 dada pelas funções na primeira linha, as primeiras derivadas das funções na segunda linha e as segundas derivadas na terceira, isto é,
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} f & g & h \\\ f^{\prime} & g^{\prime} & h^{\prime} \\\ f^{\prime \prime} & g^{\prime \prime} & h^{\prime \prime} \end{array}\right)
calcule o Wronskiano dos seguintes conjuntos de funções e determine o conjunto de pontos onde é diferente de zero.
\left\{e^{x},-e^{-2 x}, x\right\}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do Wronskiano de três funções
\{f,g,h\}=\{e^{x},-e^{-2x},x\}, onde o Wronskiano é definido como o determinante da matriz
\begin{pmatrix} f & g & h\\\ f'&g'&h'\\\ f''&g''&h'' \end{pmatrix}.
Vamos precisar: 1) obter as primeiras e segundas derivadas de cada função; 2) montar a matriz 3\times3; 3) calcular o determinante; 4) encontrar onde ele é diferente de zero.

Passo 2

Derivadas de cada função:
f(x)=e^{x},\quad f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},
g(x)=-e^{-2x},\quad g'(x)=2e^{-2x},\quad g''(x)=-4e^{-2x},
h(x)=x,\quad h'(x)=1,\quad h''(x)=0.
Então a matriz do Wronskiano fica
\begin{pmatrix} e^{x} & -e^{-2x} & x\\\ e^{x} & 2e^{-2x} & 1\\\ e^{x} & -4e^{-2x} & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. Chamando a matriz de M,
W(x)=\det M =e^{x}\det\begin{pmatrix}2e^{-2x}&1\\\ -4e^{-2x}&0\end{pmatrix} -(-e^{-2x})\det\begin{pmatrix}e^{x}&1\e^{x}&0\end{pmatrix} +x\det\begin{pmatrix}e^{x}&2e^{-2x}\e^{x}&-4e^{-2x}\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}2e^{-2x}&1\\\ -4e^{-2x}&0\end{pmatrix} =2e^{-2x}\cdot0-1\cdot(-4e^{-2x})=4e^{-2x},
\det\begin{pmatrix}e^{x}&1\e^{x}&0\end{pmatrix} =e^{x}\cdot0-1\cdot e^{x}=-e^{x},
\det\begin{pmatrix}e^{x}&2e^{-2x}\e^{x}&-4e^{-2x}\end{pmatrix} =e^{x}(-4e^{-2x})-2e^{-2x}(e^{x})=-6e^{-x}.
Substituindo em W(x):
W(x) =e^{x}\cdot4e^{-2x} -(-e^{-2x})\cdot(-e^{x}) +x\cdot(-6e^{-x}) =4e^{-x}-e^{-x}-6x\,e^{-x}=(3-6x)e^{-x}.

Passo 5

Como e^{-x} nunca é zero, a única raiz de W(x) vem de
3-6x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Logo W(x)\neq0 exatamente quando x\neq\tfrac12.

Resposta

W(x)=(3-6x)e^{-x},
e ele é diferente de zero sempre que x\neq \tfrac12.

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