Lembre que senh(x)=e^x-e^-x2, cosh (x)=e^x+e^-x2 e tgh(x)=senh(x)cosh (x).
(a) Encontre o domínio de tgh(x) e de 4 x^3-2|1-2 x|.

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
senh(x)=e^x-e^-x2,
cosh(x)=e^x+e^-x2 e
tgh(x)=senh(x)cosh(x),
e pede o domínio de tgh(x) e de
4x^3-2lvert 1-2xrvert.
Para achar domínio, basta descobrir onde cada função está bem definida (ou seja, onde não ocorre divisão por zero ou outra indeterminação).

Passo 2

Analisando tgh(x)=senh(x)cosh(x), a única possível restrição é cosh(x)=0. Mas sabemos que
cosh(x)=e^x+e^-x2>=1forall xinR,
logo cosh(x) nunca zera. Portanto tgh(x) está definida para todo xinR.

Passo 3

Na função
f(x)=4x^3-2lvert 1-2xrvert,
a restrição vem do denominador lvert 1-2xrvertneq0, isto é,
1-2xneq0 Longrightarrow xneq12
Não há outra restrição (o numerador é um polinômio, definido em toda parte). Logo o domínio é todos os reais, exceto x=tfrac12.

Resposta

Domínio de tgh(x): R.
Domínio de 4x^3-2lvert 1-2xrvert:
Rsetminustfrac12, ou seja (-infty,tfrac12)cup(tfrac12,infty).

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