Sejam P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 e Q(x)=bm x^m+bm-1 x^m-1+cdots+b1 x+b0 com an neq 0 e bm neq 0. Calcule os seguintes limites:
lim x -infty P(x)

Passo 1

O enunciado pede o comportamento de um polinômio
P(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0
quando xto -infty. O conteúdo é o fato de que, para x muito grande em módulo, o termo de maior grau domina os demais.

Passo 2

Para evidenciar isso, escrevemos
P(x)x^n = an ;+; an-1,1x ;+;cdots+;a0,1x^n
e notamos que, à medida que xto -infty, todos os termos tfrac1x,dots,tfrac1x^n vão a zero. Logo
limxto -inftyP(x)x^n=an

Passo 3

Multiplicando de volta por x^n, temos
P(x)=x^n;l(tfracP(x)x^nr) sim an,x^n
Agora, o sinal de x^n quando xto -infty depende da paridade de n:
  • Se n é par, então x^nto +infty.
  • Se n é ímpar, então x^nto -infty.

Passo 4

Combinando o sinal de
  • , portanto

Resposta

Seja n o grau de P e an seu coeficiente líder. Então
limxto -inftyP(x)= +infty,& n par e an>0, -infty,& n par e an<0, -infty,& n ímpar e an>0, +infty,& n ímpar e an<0 íí

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