Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
d^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0
onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
(t-2) y^prime prime+y^prime-(t-2) t y=0, y(3)=1, y^prime(3)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem com condições iniciais em t0=3:
(t-2),d^2ydt^2+dydt-(t-2),t,y=0, y(3)=1, y'(3)=2
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem, que exige colocar a equação na forma padrão
y''+p(t),y'+q(t),y=f(t)
e verificar continuidade de p, q e f num intervalo aberto contendo t0.

Passo 2

Para obter a forma padrão dividimos por (t-2), desde que tneq2. Assim
y''+1t-2,y'-t,y=0,
ou seja
y''+p(t),y'+q(t),y=0
com p(t)=1t-2 e q(t)=-t.

Passo 3

Analisamos a continuidade de p, q e f:
q(t)=-t e f(t)=0 são contínuos em todo R.
p(t)=1t-2 é descontínuo em t=2.
Logo o domínio natural da EDO em forma padrão é
Rsetminus2=(-infty,2)cup(2,infty)

Passo 4

Como a condição inicial está em t0=3, só podemos usar o ramo de domínio que contenha 3, ou seja (2,infty). Nesse intervalo p, q e f são todos contínuos, garantindo existência e unicidade da solução em todo (2,infty).

Resposta

A solução do problema de valor inicial existe e é única em (2,infty).

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