Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial,
definida para todo
].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
.
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem com condições iniciais em
:
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem, que exige colocar a equação na forma padrão
e verificar continuidade de
,
e
num intervalo aberto contendo
.
Passo 2
Para obter a forma padrão dividimos por
, desde que
. Assim
ou seja
com
e
.
Passo 3
Analisamos a continuidade de
,
e
:
– e
são contínuos em todo
.
– é descontínuo em
.
Logo o domínio natural da EDO em forma padrão é
–
–
Logo o domínio natural da EDO em forma padrão é
Passo 4
Como a condição inicial está em
, só podemos usar o ramo de domínio que contenha
, ou seja
. Nesse intervalo
,
e
são todos contínuos, garantindo existência e unicidade da solução em todo
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial existe e é única em
.