Lembrete: A função logaritmo natural é por definição a função
ln : R+^* R, ln (x)=integral1^x 1t d t
Vimos em sala que ln (x) é inversível e denotamos ln ^-1(x) por exp (x). Vimos também que e^r=exp (r) para qualquer racional r, sendo e:=exp (1). Com o intuito de preservar a continuidade, definimos então a função exponencial de base e para ser a função
R ni x mapsto e^x in R+^*, e^x:=exp (x)
Mostre que ln (x^r)=r ln (x), forall x in R+^* e r in Q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo xinR+^* e todo rinQ, vale
lnl(x^rr)=r,ln(x)
Vamos usar as definições clássicas de potência de expoente inteiro e racional, a propriedade
ln(ab)=ln(a)+ln(b) e o fato de ln(1)=0.

Passo 2

Primeiro, tomemos r=m inteiro positivo. Como
x^m=xcdot xcdotldotscdot x (m fatores),
pela propriedade aditiva do logaritmo temos
lnl(x^mr) =ln(x)+ln(x)+cdots+ln(x) =m,ln(x)
Se m for inteiro negativo, escrevemos m=-k com k>0 e então
lnl(x^mr) =lnl(x^-kr) =lnl(1/x^kr) =ln(1)-lnl(x^kr) =0 - k,ln(x) =-k,ln(x) =m,ln(x)

Passo 3

Agora, seja r=tfrac1n com ninN^*. Note que
l(x^1/nr)^n=x. Aplicando ln em ambos os lados e usando o caso inteiro, obtemos
ln(x) =lnl((x^1/n)^nr) =n,lnl(x^1/nr)
Logo
lnl(x^1/nr) =1n,ln(x)

Passo 4

Por fim, para r=tfracmn com minZ e ninN^*, escrevemos
x^r =x^m/n =l(x^1/nr)^m
Então, usando primeiro o caso recíproco e depois o caso inteiro,
lnl(x^m/nr) =ln!l((x^1/n)^mr) =m,lnl(x^1/nr) =mcdot1n,ln(x) =mn,ln(x) =r,ln(x)

Resposta

boxedlnl(x^rr)=r,ln(x),forall xinR+^*,;forall rinQ

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