Lembrete: A função logaritmo natural é por definição a função
Vimos em sala que
é inversível e denotamos
por
. Vimos também que
para qualquer racional
, sendo
. Com o intuito de preservar a continuidade, definimos então a função exponencial de base e para ser a função
Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo
e todo
, vale
Vamos usar as definições clássicas de potência de expoente inteiro e racional, a propriedade
e o fato de
.
Passo 2
Primeiro, tomemos
inteiro positivo. Como
pela propriedade aditiva do logaritmo temos
Se
for inteiro negativo, escrevemos
com
e então
Passo 3
Agora, seja
com
. Note que
. Aplicando
em ambos os lados e usando o caso inteiro, obtemos
Logo
Passo 4
Por fim, para
com
e
, escrevemos
Então, usando primeiro o caso recíproco e depois o caso inteiro,