Uma lente convexa, de diâmetro igual a 3,8 \mathrm{~cm} e de distância focal igual a 26 cm . produz uma imagem do Sol sobre uma tela preta e delgada cujo tamanho é igual ao da imagem. Determine a mais alta temperatura que a tela pode alcançar. A temperatura efetiva do Sol vale 5.800 K .

Passo 1

O enunciado fala de uma lente convexa de diâmetro D=3{,}8\;\mathrm{cm} (logo raio R=D/2) e distância focal f=26\;\mathrm{cm} que foca a luz do Sol numa tela preta e delgada. A tela alcançará uma temperatura de equilíbrio quando a potência que ela absorve for igual à potência que ela emite. Para resolver, vamos usar conservação de brilho (etendue) e a lei de Stefan–Boltzmann.

Passo 2

A radiância do Sol — ou saída de energia por unidade de área projetada e por unidade de ângulo sólido — é
L_{\!S}=\frac{\sigma\,T_{S}^{4}}{\pi},
onde T_{S}=5800\;\mathrm{K} e \sigma\approx5,67\times10^{-8}\;\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 3

A lente ocupa um ângulo sólido, visto da tela no plano focal, de
\Omega = \frac{\text{área da lente}}{f^{2}} = \frac{\pi\,R^{2}}{f^{2}}.á
Logo, a saída de energia (emissão) por unidade de área da tela, vinda do Sol concentrado, é
M_{\text{in}} \;=\; L_{S}\,\Omega \;=\;\frac{\sigma\,T_{S}^{4}}{\pi}\;\frac{\pi\,R^{2}}{f^{2}} \;=\;\sigma\,T_{S}^{4}\,\frac{R^{2}}{f^{2}}.

Passo 4

Na situação de equilíbrio, essa energia recebida por unidade de área deve ser igual ao que a tela emite como corpo negro:
M_{\text{in}} \;=\;\sigma\,T^{4},
portanto
\sigma\,T_{S}^{4}\,\frac{R^{2}}{f^{2}} =\sigma\,T^{4} \quad\Longrightarrow\quad T = T_{S}\,\sqrt{\frac{R}{f}}.

Passo 5

Substituindo R=D/2=0{,}019\;\mathrm{m} e f=0{,}26\;\mathrm{m}:
\sqrt{\frac{R}{f}} =\sqrt{\frac{0{,}019}{0{,}26}} \approx0{,}270,
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T =5800\;\mathrm{K}\times0{,}270 \approx1566\;\mathrm{K}.

Resposta

A temperatura máxima de equilíbrio da tela é, aproximadamente, 1{,}6\times10^{3}\;\mathrm{K}.

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