Uma pedra é lançada da posição ( 0, h ) do topo e da borda de uma falésia vertical de altura h, com velocidade inicial v_{0} e ângulo de 45^{\circ} com a horizontal. Sabendo que a pedra atinge o solo em um ponto localizado a uma distância L da base da falésia, isto é, a pedra atinge o ponto ( L, 0 ), escreva L como uma função exclusiva de v_{0}, g e h. (Valor: 7,5 ptos)

Passo 1

O enunciado descreve um movimento de projétil lançado de uma altura inicial (0,h) com velocidade inicial \,v_{0} num ângulo de 45^\circ em relação à horizontal, e que atinge o solo em (L,0).
Conteúdo: decomposição do vetor velocidade, equações paramétricas do movimento uniformemente acelerado e resolução de equação quadrática para o tempo de queda.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em horizontal e vertical, usando \cos45^\circ=\sin45^\circ=1/\sqrt2:
v_{0x} = \frac{v_{0}}{\sqrt2}, \quad v_{0y} = \frac{v_{0}}{\sqrt2}.
As equações do movimento são
x(t) = v_{0x}\,t, \qquad y(t) = h + v_{0y}\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^{2}.

Passo 3

Para achar o instante t em que a pedra atinge o solo, impomos y(t)=0, isto é,
h + \frac{v_{0}}{\sqrt2}\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^{2} = 0.
Isso é uma equação quadrática em t:
\frac{1}{2}\,g\,t^{2} - \frac{v_{0}}{\sqrt2}\,t - h = 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara e escolhendo a raiz positiva (tempo de queda),
t = \frac{\frac{v_{0}}{\sqrt2} + \sqrt{\bigl(\frac{v_{0}}{\sqrt2}\bigr)^{2} + 2\,g\,h}}{g} = \frac{\tfrac{v_{0}}{\sqrt2} + \sqrt{\tfrac{v_{0}^{2}}{2} + 2\,g\,h}}{g}.

Passo 5

A distância horizontal L é dada por x(t) no instante acima:
L = v_{0x}\,t = \frac{v_{0}}{\sqrt2}\;\frac{\tfrac{v_{0}}{\sqrt2} + \sqrt{\tfrac{v_{0}^{2}}{2} + 2\,g\,h}}{g}.

Passo 6

Simplificando o produto:
\frac{v_{0}}{\sqrt2}\;\frac{v_{0}/\sqrt2}{g} = \frac{v_{0}^{2}}{2\,g}, \quad \frac{v_{0}}{\sqrt2}\;\frac{\sqrt{\tfrac{v_{0}^{2}}{2} + 2\,g\,h}}{g} = \frac{v_{0}}{2\,g}\,\sqrt{v_{0}^{2} + 4\,g\,h}.
Somando essas parcelas:
L = \frac{v_{0}^{2} + v_{0}\,\sqrt{v_{0}^{2} + 4\,g\,h}}{2\,g}.

Resposta

L = \frac{v_{0}^{2} + v_{0}\,\sqrt{v_{0}^{2} + 4\,g\,h}}{2\,g}.

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