Seja um campo de forças que atua em uma partícula de massa m=2 k g dado por \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x, 4 y^{2}, \frac{z^{3}}{2}\right). a) Este campo é conservativo? b) Caso seja conservativo, determine o função V(x, y, z), se V(0,0,0)=\pi. c) Escreva uma expressão para a velocidade v(a, b, c), se a, b, c>0, e se a partícula sai do repouso na origem. (Valor: 7,5 ptos)

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de forças atuando numa partícula de massa m=2\\ \mathrm{kg},
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(2x,\;4y^{2},\;\tfrac{z^{3}}{2}\bigr).
Pede em (a) verificar se o campo é conservativo, em (b) determinar a função potencial V(x,y,z) com condição V(0,0,0)=\pi, e em (c) achar a velocidade v(a,b,c) se a partícula parte do repouso na origem. Vamos usar (i) o teste do rotacional para conservatividade, (ii) a relação \vec{F}=-\nabla V para achar V e (iii) conservação da energia mecânica.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec{F}. Lembrando
\bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\quad \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\quad \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}.
Aqui
\frac{\partial F_z}{\partial y}=0,\;\frac{\partial F_y}{\partial z}=0,\; \frac{\partial F_x}{\partial z}=0,\;\frac{\partial F_z}{\partial x}=0,\; \frac{\partial F_y}{\partial x}=0,\;\frac{\partial F_x}{\partial y}=0,
logo
\nabla\times \vec{F} = (0,0,0).
Como o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conexo) e o rotacional é nulo, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar V tal que \vec{F} = -\nabla V, escrevemos
\frac{\partial V}{\partial x} = -2x,\quad \frac{\partial V}{\partial y} = -4y^{2},\quad \frac{\partial V}{\partial z} = -\tfrac{z^{3}}{2}.
Integramos em x:
V(x,y,z) = \int -2x\,dx = -x^{2} + g(y,z).
Agora \partial V/\partial y = -4y^{2}
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2} + g(y,z)\bigr) = \frac{\partial g}{\partial y} = -4y^{2} \quad\Longrightarrow\quad g(y,z) = -\tfrac{4}{3}y^{3} + h(z).
Finalmente, \partial V/\partial z = -z^{3}/2 implica
\frac{d h}{dz} = -\tfrac{z^{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad h(z) = -\tfrac{z^{4}}{8} + C.
Portanto
V(x,y,z) = -x^{2} \;-\;\tfrac{4}{3}y^{3}\;-\;\tfrac{z^{4}}{8} \;+\; C.

Passo 4

Usar a condição V(0,0,0)=\pi:
V(0,0,0) = -0 -0 -0 + C = C = \pi.
Logo a função potencial é
\boxed{\,V(x,y,z) = -x^{2} \;-\;\tfrac{4}{3}y^{3}\;-\;\tfrac{z^{4}}{8} \;+\;\pi.}

Passo 5

Como o campo é conservativo, a energia mecânica se conserva:
E = K + V = \text{constante}.
Na origem a partícula parte do repouso, logo K_i=0 e V_i = V(0,0,0)=\pi. No ponto (a,b,c) a energia cinética final é
K_f = \tfrac12 m\,v^{2}(a,b,c),
e V_f = V(a,b,c). Igualando E_i = E_f:
0 + \pi \;=\; \tfrac12 m\,v^{2} + \bigl[-a^{2}-\tfrac{4}{3}b^{3}-\tfrac{c^{4}}{8}+\pi\bigr].
Daí
\tfrac12 m\,v^{2} = a^{2} + \tfrac{4}{3}b^{3} + \tfrac{c^{4}}{8}.
Como m=2, fica
v^{2} = \frac{2}{m}\Bigl(a^{2} + \tfrac{4}{3}b^{3} + \tfrac{c^{4}}{8}\Bigr) = a^{2} + \tfrac{4}{3}b^{3} + \tfrac{c^{4}}{8},
portanto
\boxed{\,v(a,b,c) = \sqrt{\,a^{2} + \tfrac{4}{3}b^{3} + \tfrac{c^{4}}{8}\,}\quad(a,b,c>0).}

Resposta

a) Sim, \vec{F} é conservativo.
b) \displaystyle V(x,y,z) = -x^{2} - \tfrac{4}{3}y^{3} - \tfrac{z^{4}}{8} + \pi.
c) \displaystyle v(a,b,c) = \sqrt{\,a^{2} + \tfrac{4}{3}b^{3} + \tfrac{c^{4}}{8}\,}.

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