Seja um campo de forças que atua em uma partícula de massa
dado por
. a) Este campo é conservativo? b) Caso seja conservativo, determine o função
, se
. c) Escreva uma expressão para a velocidade
, se
, e se a partícula sai do repouso na origem. (Valor: 7,5 ptos)
Passo 1
O enunciado nos dá um campo de forças atuando numa partícula de massa
,
Pede em (a) verificar se o campo é conservativo, em (b) determinar a função potencial
com condição
, e em (c) achar a velocidade
se a partícula parte do repouso na origem. Vamos usar (i) o teste do rotacional para conservatividade, (ii) a relação
para achar
e (iii) conservação da energia mecânica.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Lembrando
Aqui
logo
Como o domínio é
(simplesmente conexo) e o rotacional é nulo,
é conservativo.
Passo 3
Para achar
tal que
, escrevemos
Integramos em
:
Agora
dá
Finalmente,
implica
Portanto
Passo 4
Usar a condição
:
Logo a função potencial é
Passo 5
Como o campo é conservativo, a energia mecânica se conserva:
Na origem a partícula parte do repouso, logo
e
. No ponto
a energia cinética final é
e
. Igualando
:
Daí
Como
, fica
portanto
Resposta
a) Sim,
é conservativo.
b)
c)
b)
c)