Um leopardo e um tigre estão correndo. O tigre tem metade da energia cinética do leopardo e ao aumentar sua velocidade em 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, passam a ter a mesma energia cinética. O leopardo tem metade da massa do tigre. Desprezando a resitência do ar e considere |\vec{g}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine as velocidades iniciais dos dois.

Passo 1

Vamos chamar de m_T a massa do tigre e de m_L a massa do leopardo. O enunciado diz que o leopardo tem metade da massa do tigre, ou seja
m_L = \tfrac12\,m_T.
A energias cinéticas serão calculadas pela fórmula
K = \tfrac12\,m\,v^2.

Passo 2

Inicialmente, o tigre tem metade da energia cinética do leopardo, isto é
K_T = \tfrac12\,K_L.
Mas
K_T = \tfrac12\,m_T\,v_T^2 \quad\text{e}\quad K_L = \tfrac12\,m_L\,v_L^2 = \tfrac12\bigl(\tfrac12\,m_T\bigr)\,v_L^2 = \tfrac14\,m_T\,v_L^2.
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\tfrac12\,m_T\,v_T^2 = \tfrac12\bigl(\tfrac14\,m_T\,v_L^2\bigr) \;\Longrightarrow\; m_T\,v_T^2 = \tfrac14\,m_T\,v_L^2 \;\Longrightarrow\; v_T^2 = \tfrac14\,v_L^2 \;\Longrightarrow\; v_T = \tfrac12\,v_L.

Passo 3

Depois, aumentando a velocidade do tigre em 4,m/s, as energias cinéticas passam a ser iguais:
\tfrac{1}{2}\,m_T\,(v_T+4)^2 = \tfrac{1}{2}\,m_L\,v_L^2.
Cancelando o \tfrac{1}{2} e substituindo m_L=\tfrac{1}{2}\,m_T, vem
m_T\,(v_T+4)^2 = \tfrac{1}{2}\,m_T\,v_L^2 \;\Longrightarrow\; 2\,(v_T+4)^2 = v_L^2.

Passo 4

Substituindo v_T = \tfrac12\,v_L na equação anterior, obtemos
2\Bigl(\tfrac12\,v_L + 4\Bigr)^2 = v_L^2 \;\Longrightarrow\; 2\Bigl(\tfrac{v_L}{2} + 4\Bigr)^2 = v_L^2.
Expandindo e resolvendo para v_L:
2\Bigl(\tfrac{v_L^2}{4} + 4\,v_L + 16\Bigr) = v_L^2 \;\Longrightarrow\; \tfrac{v_L^2}{2} + 8\,v_L + 32 = v_L^2 \;\Longrightarrow\; v_L^2 - \tfrac{v_L^2}{2} - 8\,v_L - 32 = 0
\tfrac12\,v_L^2 - 8\,v_L - 32 = 0 \;\Longrightarrow\; v_L^2 - 16\,v_L - 64 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
v_L = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 + 4\cdot64}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 256}}{2} = \frac{16 \pm 16\sqrt{2}}{2} = 8 \pm 8\sqrt{2}.
Descartamos a raiz negativa, então
v_L = 8 + 8\sqrt{2}\quad(\approx19{,}3\text{ m/s}).

Passo 5

Finalmente, como v_T = \tfrac12\,v_L,
v_T = 4 + 4\sqrt{2} \quad(\approx9{,}66\text{ m/s}).

Resposta

v_{\text{leopardo}} = 8 + 8\sqrt{2},m/s
v_{\text{tigre}} = 4 + 4\sqrt{2},m/s

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