Quando um objeto de 1 kg é colocado sobre uma grande mola esta se comprime 1,0 \mathrm{~cm} com relação a sua posição relaxada. Se uma massa de 5 kg é solta de uma altura de 3,0 \mathrm{~m} acima da mesma mola, desprezando a resitência do ar e considere |\vec{g}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, quanto será a máxima compressão da mola durante o impacto?

Passo 1

O enunciado diz que uma mola comprime 1{,}0\:\mathrm{cm} sob o peso de 1\:\mathrm{kg}. Em seguida, uma massa de 5\:\mathrm{kg} é solta a 3{,}0\:\mathrm{m} acima da mola e bate nela. Queremos achar a máxima compressão y da mola.
Conteúdo: constante elástica de mola e conservação de energia (energia potencial gravitacional vira energia potencial elástica).

Passo 2

Calcular a constante da mola k usando o equilíbrio sob peso de 1\:\mathrm{kg}. Em repouso,
k\,x = m\,g,
com m=1\:\mathrm{kg}, g=10\:\mathrm{m/s^2} e x=1{,}0\:\mathrm{cm}=0{,}01\:\mathrm{m}. Logo,
k = \frac{m\,g}{x} = \frac{1\cdot10}{0{,}01} = 1000\:\mathrm{N/m}.

Passo 3

Aplicar conservação de energia entre o instante de soltura (altura H=3{,}0\:\mathrm{m} acima da mola relaxada) e o instante de máxima compressão y (sem velocidade).
Energia inicial (toda gravitacional):
E_i = m\,g\,H = 5\cdot10\cdot3 = 150\:\mathrm{J}.
Energia final: soma da elástica e da gravitacional (massa desceu y a mais):
E_f = \tfrac12\,k\,y^2 + m\,g\,y.
Igualando E_i = E_f
150 = \frac12\cdot1000\,y^2 + 5\cdot10\,y.

Passo 4

Resolver a equação para y. Primeiro escrevendo em forma padrão:
150 = 500\,y^2 + 50\,y \quad\Longrightarrow\quad 500\,y^2 + 50\,y -150 = 0.
Divide por 50:
10\,y^2 + y - 3 = 0.
A solução positiva é
y = \frac{-1 + \sqrt{1 + 120}}{20} = \frac{-1 + 11}{20} = 0{,}50\:\mathrm{m}.

Resposta

A máxima compressão da mola será 0{,}50\:\mathrm{m}.

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