Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: a soma é sobre
; cada parcela é
multiplicada por
; o limite é quando
. A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Vamos interpretar cada termo da soma como um produto do tipo
. Defino
Então cada parcela da soma é
com a função
Observe que, quando
vai de
a
, os pontos
percorrem valores de
até
; à medida que
esses pontos preencherm o intervalo
. Intuitivamente (e pelo teorema da soma de Riemann), a soma de tais retângulos converge para a integral definida de
em
. Portanto o limite pedido é a integral de
de
a
.
Passo 3
Escrevendo isso em forma de integral, temos
Passo 4
Para calcular a integral, faço a substituição simples
. Então
. Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
Passo 5
Use a regra da potência para integrar
: para
,
Aqui
, então
Avalio entre
e
:
Calculo
. Primeiro
(pois a quarta raiz de
é
), então
. Assim