1. \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sqrt[4]{1+15 i / n} \cdot(15 / n)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sqrt[4]{1+\tfrac{15i}{n}}\cdot\left(\tfrac{15}{n}\right).
Informações dadas: a soma é sobre i=1,\dots,n; cada parcela é \sqrt[4]{1+15i/n} multiplicada por \tfrac{15}{n}; o limite é quando n\to\infty. A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Vamos interpretar cada termo da soma como um produto do tipo f(x_i)\,\Delta x. Defino
\Delta x=\tfrac{15}{n}, \qquad x_i=\tfrac{15i}{n}.
Então cada parcela da soma é
\sqrt[4]{1+\tfrac{15i}{n}}\cdot\Delta x = f(x_i)\,\Delta x
com a função
f(x)=\sqrt[4]{1+x}=(1+x)^{1/4}.
Observe que, quando i vai de 1 a n, os pontos x_i percorrem valores de \tfrac{15}{n} até 15; à medida que n\to\infty esses pontos preencherm o intervalo [0,15]. Intuitivamente (e pelo teorema da soma de Riemann), a soma de tais retângulos converge para a integral definida de f em [0,15]. Portanto o limite pedido é a integral de f de 0 a 15.

Passo 3

Escrevendo isso em forma de integral, temos
\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \sqrt[4]{1+\tfrac{15i}{n}}\cdot\left(\tfrac{15}{n}\right) = \int_{0}^{15} (1+x)^{1/4}\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral, faço a substituição simples u=1+x. Então du=dx. Os limites mudam: quando x=0 temos u=1; quando x=15 temos u=16. A integral fica
\int_{0}^{15} (1+x)^{1/4}\,dx = \int_{1}^{16} u^{1/4}\,du.

Passo 5

Use a regra da potência para integrar u^{1/4}: para k\neq -1,
\int u^{k}\,du = \frac{u^{k+1}}{k+1}.
Aqui k=\tfrac{1}{4}, então
\int u^{1/4}\,du = \frac{u^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}\,u^{5/4}.
Avalio entre u=1 e u=16:
\int_{1}^{16} u^{1/4}\,du = \frac{4}{5}\bigl(16^{5/4}-1^{5/4}\bigr).
Calculo 16^{5/4}. Primeiro 16^{1/4}=2 (pois a quarta raiz de 16 é 2), então 16^{5/4}=(16^{1/4})^5=2^5=32. Assim
\frac{4}{5}\bigl(16^{5/4}-1\bigr)=\frac{4}{5}(32-1)=\frac{4}{5}\cdot 31=\frac{124}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{124}{5}

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