The Hamiltonian operator for a two-state system is given by
where
is a number with the dimension of energy. Find the energy eigenvalues and the corresponding energy eigenkets (as linear combinations of
and
).
Passo 1
O enunciado dá o operador Hamiltoniano para um sistema de duas bases
e
e pede os autovalores de energia e os autoestados de energia (autovetores) expressos como combinações lineares de
e
. Informações relevantes fornecidas:
- O Hamiltoniano é
onde
é uma constante com dimensão de energia.
- Precisamos encontrar os autovalores
e os autoestados tais que , escrevendo cada como combinação de e .
Passo 2
Método escolhido e por quê: aqui é mais direto representar
como uma matriz
na base
e resolver o problema de autovalores usual em álgebra linear. Isso é o método mais simples para sistemas de duas dimensões e é rápido de aplicar em prova.
Vamos construir a matriz de
nessa base usando
com
. Cada termo do Hamiltoniano contribui:
-
contribui ao elemento . -
contribui ao elemento . -
contribui ao elemento . -
contribui ao elemento .
Portanto a matriz de
na base
é
Passo 3
Vamos achar os autovalores
resolvendo a equação característica
. Como
com
os autovalores de
são
vezes os autovalores de
. Então primeiro achamos
tais que
.
O determinante é
Calculemos essa expressão passo a passo:
Subtraindo
obtemos
Portanto a equação característica é
cuja solução é
Como
, os autovalores de
são
Passo 4
Agora vamos achar os autoestados (autovetores) correspondentes. Para
resolvemos
. Escrevendo o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação é dependente da primeira (como deve ser), então um autovetor não normalizado para
é
Escolhemos
para simplicidade e depois normalizamos.]
Passo 5
Normalização do autovetor associado a
. O vetor escolhido é
. Calculamos o quadrado da norma:
Logo a norma é
. Podemos escrever a forma normalizada como
É útil apresentar coeficientes em formas trigonométricas ou com radicais mais simétricos. Observando identidades trigonométricas, tem-se
Uma forma equivalente e mais compacta é
Também pode ser escrita em radicais:
Passo 6
Agora o autovetor para
(isto é,
). Resolvendo
obtemos a primeira equação
Tomando
temos um vetor não normalizado
.
Norma ao quadrado:
A forma normalizada é
Usando as mesmas expressões trigonométricas/radicais, obtemos uma forma mais agradável:
ou em radicais
Passo 7
Verificações e comentários finais rápidos:
- Os autovalores encontrados são
. - Os autoestados
e são ortonormais (podem ser verificados calculando o produto interno; ortogonalidade decorre do fato de autovalores distintos de um operador hermitiano). - Observação sobre fase: cada autovetor pode ser multiplicado por uma fase complexa unitaria sem alterar a física; escolhemos fases reais para simplicidade.