Let gamma be a simple closed curve that goes through the point 1+i. Let
f(z)=12 pi i integralgamma cos (w)w-z d w
Find the following limits:
(i) lim z 1+i f(z), where z goes to 1+i from outside gamma.
(ii) lim z 1+i f(z), where z goes to 1+i from inside gamma.

Passo 1

O enunciado define
f(z)=12pi iintegralgammacos(w)w-z,dw
onde gamma é uma curva fechada simples passando por 1+i. Precisamos usar o Teorema de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy para a função holomorfa cos(w) em torno de gamma.

Passo 2

Se z está no componente exterior de gamma, o integrando cos(w)/(w-z) é holomorfo em todo o interior de gamma (pois w=z nunca ocorre dentro da curva). Logo, pelo teorema de Cauchy,
integralgammacos(w)w-z,dw=0
e portanto para z fora de gamma vale
f(z)=0

Passo 3

Se z está no componente interior de gamma, aplicamos a fórmula integral de Cauchy para cos(w):
12pi iintegralgammacos(w)w-z,dw=cos(z)
Logo, para z dentro de gamma temos
f(z)=cos(z)

Passo 4

Agora basta tomar zto1+i pelas duas regiões:
  • Aproximando-se por fora de gamma, f(z)to0.
  • Aproximando-se por dentro de gamma, f(z)tocos(1+i).

Resposta

(i) 0
(ii) cos(1+i)

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