Let
be a simple closed curve that goes through the point
. Let
Find the following limits:
(i)
, where
goes to
from outside
.
(ii)
, where
goes to
from inside
.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado define
onde
é uma curva fechada simples passando por
. Precisamos usar o Teorema de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy para a função holomorfa
em torno de
.
Passo 2
Se
está no componente exterior de
, o integrando
é holomorfo em todo o interior de
(pois
nunca ocorre dentro da curva). Logo, pelo teorema de Cauchy,
e portanto para
fora de
vale
Passo 3
Se
está no componente interior de
, aplicamos a fórmula integral de Cauchy para
:
Logo, para
dentro de
temos
Passo 4
Agora basta tomar
pelas duas regiões:
- Aproximando-se por fora de
, . - Aproximando-se por dentro de
, .
Resposta
(i)
(ii)
(ii)