Suppose that f(z) is analytic on a region A that contains the disk |z-z0| <= r. Use Cauchys integral formula to prove the more general formula
f^(n)(z0)=n!2 pi r^n integral0^2 pi f(z0+r e^i theta) e^-i n theta d theta

Passo 1

O enunciado diz que f é analítica numa região que contém o disco z:|z-z0|<= r, e pede para mostrar que
f^(n)(z0) =n!2pi r^nintegral0^2pifl(z0+r,e^ithetar)e^-i ntheta,dtheta
O conteúdo que vamos usar é a fórmula integral de Cauchy para derivadas de ordem n.

Passo 2

Recordamos a fórmula de Cauchy para a derivada de ordem n:
f^(n)(z0) =n!2pi ioint|z-z0|=rf(z)(z-z0)^,n+1,dz

Passo 3

Parametrizamos o contorno |z-z0|=r por
z=z0+r,e^itheta, dz=i,r,e^itheta,dtheta, thetain[0,2pi]

Passo 4

Substituindo na integral de Cauchy:
f^(n)(z0) =n!2pi i integral0^2pi fl(z0+r,e^ithetar)l(r,e^ithetar)^n+1 ,(i,r,e^itheta),dtheta
Dentro da integral temos
i,r,e^itheta(r,e^itheta)^n+1 =i,r,e^ithetar^n+1e^i(n+1)theta =ir^n,e^-i ntheta
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f^(n)(z0) =n!2pi i integral0^2pi fl(z0+r,e^ithetar), ir^n,e^-i ntheta,dtheta =n!2pi r^n integral0^2pi fl(z0+r,e^ithetar),e^-i ntheta,dtheta

Resposta

f^(n)(z0) =n!2pi r^n integral0^2pifl(z0+r,e^ithetar),e^-i ntheta,dtheta

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