Suppose f is analytic on and inside a simple closed curve C. Assume f(z)=0 for z on C. Show f(z)=0 for all z inside C.

Passo 1

O enunciado diz que f é analítica em todo o interior de uma curva simples fechada C e também sobre C, e que f(z)=0 para todo z em C. Para mostrar que f anula-se em todo o interior, vamos usar a fórmula integral de Cauchy, que nos dá o valor de f em pontos internos em termos de uma integral sobre C.

Passo 2

Pela fórmula integral de Cauchy, para todo ponto z estritamente dentro de C vale
f(z) ;=;12pi i,ointCf(w)w-z,dw
Como sabemos que f(w)=0 para todo w em C, o integrando é identicamente zero e, portanto, a integral é zero. Logo
f(z)=0
para todo z dentro de C.

Resposta

Para todo ponto z interior a C, tem-se f(z)=0.

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