Suppose
is analytic on and inside a simple closed curve
. Assume
for
on
. Show
for all
inside
.
Passo 1
O enunciado diz que
é analítica em todo o interior de uma curva simples fechada
e também sobre
, e que
para todo
em
. Para mostrar que
anula-se em todo o interior, vamos usar a fórmula integral de Cauchy, que nos dá o valor de
em pontos internos em termos de uma integral sobre
.
Passo 2
Pela fórmula integral de Cauchy, para todo ponto
estritamente dentro de
vale
Como sabemos que
para todo
em
, o integrando é identicamente zero e, portanto, a integral é zero. Logo
para todo
dentro de
.
Resposta
Para todo ponto
interior a
, tem-se
.