Let
be the curve
. Explain why each of the following integrals is 0 .
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é o círculo
.
O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas: se uma função é holomorfa em um domínio que contém e seu interior, então sua integral ao longo de
vale zero. Vamos verificar a holomorfia do integrando dentro e sobre
.
O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas: se uma função é holomorfa em um domínio que contém
Passo 2
Identificamos os possíveis pontos não-analíticos (pólos) vindos do denominador
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 3
Calculamos o módulo de cada polo:
Como
, ambos os pólos
e
estão fora do círculo
.
Passo 4
Dentro e sobre a curva
não há singularidades do integrando
. Além disso,
é inteira (holomorfa em todo
). Logo, o quociente é holomorfo em um domínio aberto que contém
e seu interior.
Passo 5
Pelo Teorema de Cauchy, a integral de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada simples é zero. Portanto,