Let C be the curve |z|=2. Explain why each of the following integrals is 0 .
integralC cos (z)z^2-6 z+10 d z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integralC cos(z)z^2-6z+10,dz = 0
onde C é o círculo |z|=2.
O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas: se uma função é holomorfa em um domínio que contém C e seu interior, então sua integral ao longo de C vale zero. Vamos verificar a holomorfia do integrando dentro e sobre |z|=2.

Passo 2

Identificamos os possíveis pontos não-analíticos (pólos) vindos do denominador
z^2-6z+10=0
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
z = 6 pm raiz(-6)^2 - 4cdot1cdot102 = 6 pm raiz36 - 402 = 6 pm raiz-42 = 3 pm i

Passo 3

Calculamos o módulo de cada polo:
|3pm i| = raiz3^2 + 1^2 = raiz10 approx 3,16
Como raiz10>2, ambos os pólos 3+i e 3-i estão fora do círculo |z|=2.

Passo 4

Dentro e sobre a curva |z|=2 não há singularidades do integrando cos(z)z^2-6z+10. Além disso, cos(z) é inteira (holomorfa em todo C). Logo, o quociente é holomorfo em um domínio aberto que contém C e seu interior.

Passo 5

Pelo Teorema de Cauchy, a integral de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada simples é zero. Portanto,
integralC cos(z)z^2-6z+10,dz = 0

Resposta

0

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