Let
be the curve
. Explain why each of the following integrals is 0 .
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é a circunferência
.
Conteúdo: integração de função holomorfa em curva fechada e Teorema Fundamental do Cálculo Complexo (ou Teorema de Cauchy para funções com primitiva).
Conteúdo: integração de função holomorfa em curva fechada e Teorema Fundamental do Cálculo Complexo (ou Teorema de Cauchy para funções com primitiva).
Passo 2
Verificamos que a função
é inteira (holomorfa em todo
), pois é produto de
e de um polinômio. Em particular, não há singularidades no interior de
.
Passo 3
Para usar o Teorema Fundamental, encontramos uma primitiva
de
. Calculamos
Fazendo integração por partes com
e
, obtemos
pois ao derivar
Passo 4
Como
é primitiva de
em um domínio simplesmente conexo que contém
, o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo dá
em qualquer curva fechada.