Let C be the curve |z|=2. Explain why each of the following integrals is 0 .
integralC e^-z(2 z+1) d z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integralCe^-z(2z+1),dz=0
onde C é a circunferência |z|=2.
Conteúdo: integração de função holomorfa em curva fechada e Teorema Fundamental do Cálculo Complexo (ou Teorema de Cauchy para funções com primitiva).

Passo 2

Verificamos que a função
f(z)=e^-z(2z+1)
é inteira (holomorfa em todo C), pois é produto de e^-z e de um polinômio. Em particular, não há singularidades no interior de C.

Passo 3

Para usar o Teorema Fundamental, encontramos uma primitiva F(z) de f(z). Calculamos
F(z)=integral (2z+1)e^-z,dz
Fazendo integração por partes com u=2z+1 e dv=e^-zdz, obtemos
F(z)=-(2z+3)e^-z,
pois ao derivar
F'(z)=ddzl[-(2z+3)e^-zr] =e^-z(2z+1)=f(z)

Passo 4

Como F é primitiva de f em um domínio simplesmente conexo que contém C, o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo dá
integralCf(z),dz=Fl(zr)|início^fim=0 í
em qualquer curva fechada.

Resposta

0

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