Let f(x) be irreducible in Phi[x], Phi of characteristic p neq 0. Show that f(x) can be written in the form g(x^p^0) where g(x) is irreducible and has distinct roots. Use this to show that every root of f(x) has the same multiplicity p^e (in a splitting field).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um polinômio $ f(x) $ que é irreduzível em $ \Phi[x] $, onde $ \Phi $ é um campo de característica $ p $ diferente de zero. Queremos mostrar que $ f(x) $ pode ser escrito na forma $ g(x{p{0}}) $, onde $ g(x) $ é também irreduzível e tem raízes distintas. Depois, vamos usar isso para provar que todo raiz de $ f(x) $ tem a mesma multiplicidade $ p^{e} $ em um corpo de frações (campo de decomposição).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de polinômios sobre corpos de característica $ p $, irreduzibilidade, multiplicidade de raízes e corpos de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irreduzível em $ \Phi[x] $. Isso quer dizer que $ f(x) $ não pode ser fatorado em dois polinômios de grau menor com coeficientes em $ \Phi $. Em campos de característica $ p $, às vezes os polinômios têm múltiplas raízes devido à presença de potências de $ p $.

Passo 3

Agora, queremos expressar $ f(x) $ como $ g(x{p{0}}) $. Como $ p^{0} = 1 $, isso simplifica para $ f(x) = g(x) $. Então, na verdade, estamos dizendo que podemos considerar $ g(x) = f(x) $. Mas o que realmente importa aqui é que $ g(x) $ mantém a irreduzibilidade e tem raízes distintas.

Passo 4

Para garantir que $ g(x) $ tem raízes distintas, precisamos que o polinômio seja separável. Em caracteristica $ p $, um polinômio irreduzível pode não ser separável, mas ao escrevê-lo dessa forma, estamos essencialmente separando as raízes para que sejam distintas. Isso é possível porque, ao elevar $ x $ a $ p^{0} $, que é 1, mantemos a estrutura do polinômio, mas garantindo que as raízes não se repitam.

Passo 5

Agora, vamos considerar o corpo de decomposição de $ f(x) $, onde o polinômio se quebra completamente em fatores lineares. Como $ g(x) $ tem raízes distintas e $ f(x) = g(x) $, cada raiz de $ f(x) $ aparece exatamente uma vez em $ g(x) $. Porém, no corpo de decomposição, devido à característica $ p $, cada raiz de $ f(x) $ terá multiplicidade $ p^{e} $, onde $ e $ é algum expoente inteiro positivo.

Resposta

Portanto, mostramos que $ f(x) $ pode ser escrito como $ g(x{p{0}}) $, onde $ g(x) $ é irreduzível e tem raízes distintas. Além disso, em um campo de decomposição, cada raiz de $ f(x) $ possui a mesma multiplicidade $ p^{e} $.

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