Let Phi be a field of characteristic 0, f(x) a polynomial of positive degree contained in Phi[x]. Show that if d(x) is the highest common factor of f(x) and f^prime(x), then g(x)=f(x) d(x)^-1 has simple roots which are the distinct roots of f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se a gente pega um polinômio e divide ele pelo maior divisor comum entre e sua derivada , o resultado vai ter raízes simples, ou seja, raízes que não se repetem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, fatores comuns e multiplicidade das raízes.

Passo 2

Primeiro, lembre que a derivada de um polinômio, , nos dá informações sobre a inclinação da curva de . Se um polinômio tem raízes múltiplas (ou repetidas), isso significa que essas raízes também são raízes da sua derivada. Por exemplo, se divide , então divide .

Passo 3

Agora, o maior divisor comum entre e captura exatamente esses fatores que são repetidos em . Ou seja, contém todas as partes de que correspondem a raízes múltiplas.

Passo 4

Quando a gente divide por para obter , estamos basicamente “removendo” todas as raízes múltiplas de . O que sobra é um polinômio que só tem raízes simples, porque já tiramos as partes que se repetiam.

Passo 5

Portanto, como não tem mais fatores que se repetem, todas as raízes de são simples e correspondem exatamente às raízes distintas de .

Resposta

Assim, tem raízes simples que são as raízes distintas de .

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