Let
be a field of characteristic
a polynomial of positive degree contained in
. Show that if
is the highest common factor of
and
, then
has simple roots which are the distinct roots of
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se a gente pega um polinômio
e divide ele pelo maior divisor comum
entre
e sua derivada
, o resultado
vai ter raízes simples, ou seja, raízes que não se repetem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, fatores comuns e multiplicidade das raízes.
Passo 2
Primeiro, lembre que a derivada de um polinômio,
, nos dá informações sobre a inclinação da curva de
. Se um polinômio tem raízes múltiplas (ou repetidas), isso significa que essas raízes também são raízes da sua derivada. Por exemplo, se
divide
, então
divide
.
Passo 3
Agora, o maior divisor comum
entre
e
captura exatamente esses fatores que são repetidos em
. Ou seja,
contém todas as partes de
que correspondem a raízes múltiplas.
Passo 4
Quando a gente divide
por
para obter
, estamos basicamente “removendo” todas as raízes múltiplas de
. O que sobra é um polinômio que só tem raízes simples, porque já tiramos as partes que se repetiam.
Passo 5
Portanto, como
não tem mais fatores que se repetem, todas as raízes de
são simples e correspondem exatamente às raízes distintas de
.
Resposta
Assim,
tem raízes simples que são as raízes distintas de
.