Seja X a quantidade de uma toxina produzida por um determinado fungo no milho após 10 dias de incubação em mu g / g e assuma que X tem distribuição normal. Definamos e =barX-mu como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de X seja 400(mu g / g)^2.
b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior do que 2 mu g / g ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma quantidade de toxina produzida por um fungo no milho após 10 dias, representada por $ X $, que segue uma distribuição normal. A média dessa quantidade é $ \mu $ e a variância é $ 400 , (\mu \mathrm{~g} / \mathrm{g})^{2} $. Queremos descobrir a proporção de amostras de tamanho 25 que terão um erro amostral absoluto maior que $ 2 , \mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e erro amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o erro amostral da média é dado por $ e = \bar{X} - \mu $. A distribuição da média amostral $ \bar{X} $ também é normal, com média $ \mu $ e variância $ \frac{Var(X)}{n} $, onde $ n $ é o tamanho da amostra. No nosso caso, $ n = 25 $.

Passo 3

Vamos calcular a variância e o desvio padrão da média amostral $ \bar{X} $:
barX
Var(barX) = 40025 = 16 , (mu g / g)^2
Então, a distribuição de $ \bar{X} $ é $ N(\mu, 4^2) $.

Passo 4

Queremos encontrar a proporção de amostras onde o erro amostral absoluto $ |e| > 2 , \mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} $. Isso pode ser escrito como:
|e| > 2 , mu g / g
Como a distribuição é simétrica, isso fica:
P(|e| > 2) = P(e > 2) + P(e < -2)

Passo 5

Vamos padronizar o valor para usar a tabela da distribuição normal padrão. Usamos a fórmula do $ z $:
z
Então, queremos:
z = 2sigmabarX = 24 = 0.5

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, temos:
P(Z > 0.5) approx 0.3085
Então:
P(|e| > 2) = 2 times 0.3085 = 0.617

Resposta

Aproximadamente 61,7 % das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior que $ 2 , \mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} $.

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