Seja X a quantidade de uma toxina produzida por um determinado fungo no milho após 10 dias de incubação em
e assuma que X tem distribuição normal. Definamos e
como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de X seja
.
b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior do que
?
b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior do que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma quantidade de toxina produzida por um fungo no milho após 10 dias, representada por $ X $, que segue uma distribuição normal. A média dessa quantidade é $ \mu $ e a variância é $ 400 , (\mu \mathrm{~g} / \mathrm{g})^{2} $. Queremos descobrir a proporção de amostras de tamanho 25 que terão um erro amostral absoluto maior que $ 2 , \mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e erro amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o erro amostral da média é dado por $ e = \bar{X} - \mu $. A distribuição da média amostral $ \bar{X} $ também é normal, com média $ \mu $ e variância $ \frac{Var(X)}{n} $, onde $ n $ é o tamanho da amostra. No nosso caso, $ n = 25 $.
Passo 3
Vamos calcular a variância e o desvio padrão da média amostral $ \bar{X} $:
Então, a distribuição de $ \bar{X} $ é $ N(\mu, 4^2) $.
Passo 4
Queremos encontrar a proporção de amostras onde o erro amostral absoluto $ |e| > 2 , \mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} $. Isso pode ser escrito como:
Como a distribuição é simétrica, isso fica:
Passo 5
Vamos padronizar o valor para usar a tabela da distribuição normal padrão. Usamos a fórmula do $ z $:
Então, queremos:
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, temos:
Então:
Resposta
Aproximadamente 61,7 % das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior que $ 2 , \mu \mathrm{~g} / \mathrm{g} $.