Let
be a finite field of
elements and let
transcendental over
Let
be the finite group of the automorphisms of P over
such that
. Show that
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo finito Φ₀ com q elementos e está trabalhando com uma extensão desse campo, Φ₀(ξ), onde ξ é uma variável transcendental sobre Φ₀ (ou seja, ξ não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes em Φ₀). Além disso, temos um grupo G de automorfismos desse campo extensão que, basicamente, mandam ξ para ξ + α, onde α pertence a Φ₀. O nosso objetivo aqui é mostrar que o conjunto dos elementos fixos por G, que a gente denota por I(G), é igual a Φ₀(ξᵠ - ξ). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de teorias de campos e grupos de automorfismos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um automorfismo de campos. Um automorfismo é uma função bijetora que preserva as operações de adição e multiplicação do campo. No nosso caso, os automorfismos em G estão mudando ξ para ξ + α, mas deixando os elementos de Φ₀ inalterados.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que significa Φ = I(G). Isso representa o subcampo de Φ₀(ξ) formado por todos os elementos que permanecem fixos sob qualquer automorfismo em G. Nosso objetivo é identificar esse subcampo.
Passo 4
Para encontrar I(G), vamos procurar elementos em Φ₀(ξ) que não mudam quando aplicamos qualquer automorfismo de G. Como os automorfismos somam um elemento α de Φ₀ a ξ, vamos tentar encontrar uma combinação de ξ que anule essa variação.
Passo 5
Vamos considerar a expressão ξᵠ - ξ. Sabemos que em um campo finito de q elementos, o mapa φ: a ↦ aᵠ é o automorfismo de Frobenius, e para qualquer elemento α em Φ₀, temos αᵠ = α. Então, se aplicarmos qualquer automorfismo de G a ξ, que manda ξ para ξ + α, veremos o que acontece com ξᵠ - ξ.
Passo 6
Aplicando o automorfismo que manda ξ para ξ + α, temos:
(ξ + α)ᵠ - (ξ + α) = ξᵠ + αᵠ - ξ - α = ξᵠ + α - ξ - α = ξᵠ - ξ
Isso mostra que ξᵠ - ξ é fixo por todos os automorfismos em G, ou seja, ξᵠ - ξ pertence a I(G).
Passo 7
Agora, precisamos mostrar que todo elemento fixo por G está dentro de Φ₀(ξᵠ - ξ). Como Φ₀(ξ)/Φ₀(ξᵠ - ξ) é uma extensão Galois com grupo G, e o grau dessa extensão é igual à ordem de G, que é q, concluímos que Φ = I(G) = Φ₀(ξᵠ - ξ).
Resposta
Portanto, mostramos que o subcampo fixo por G é Φ = I(G) = Φ₀(ξᵠ - ξ).