Seja X a quantidade de uma toxina produzida por um determinado fungo no milho após 10 dias de incubação em
e assuma que X tem distribuição normal. Definamos e
como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de X seja
.
a) Determine a média e a variância de e.
a) Determine a média e a variância de e.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com estatística, especificamente com a distribuição normal. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que representa a quantidade de uma toxina produzida por um fungo no milho após 10 dias. Sabemos que $ X $ segue uma distribuição normal. A questão define um erro amostral da média, $ e = \overline{X} - \mu $, onde $ \overline{X} $ é a média amostral e $ \mu $ é a média populacional. Além disso, é dado que a variância de $ X $ é $ 400 , (\mu \mathrm{~g}/\mathrm{g})^{2} $. Nosso objetivo é encontrar a média e a variância desse erro amostral $ e $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral $ e
\overline{X}
\mu $). Ou seja, $ e = \overline{X} - \mu $.
Passo 3
Para encontrar a média de $ e $, vamos usar a propriedade da esperança matemática (ou valor esperado). Sabemos que:
Como $ \mu $ é uma constante, a esperança de uma constante é ela mesma, então:
E sabemos que $ E[\overline{X}] = \mu $ porque a média amostral é um estimador sem viés da média populacional. Portanto:
Isso significa que, em média, o erro amostral é zero. Ou seja, a média das diferenças entre as médias amostrais e a média populacional é zero, o que é uma propriedade desejável em estimadores.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ e $. A variância mede o quanto os valores de $ e $ se dispersam em torno da média, que já vimos ser zero.
Começamos com a definição:
Como $ \mu $ é uma constante, a variância de uma constante é zero, e a variância de uma diferença onde um dos termos é constante é apenas a variância do termo que varia. Portanto:
Sabemos que a variância da média amostral $ \overline{X} $ é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra $ n $:
No entanto, a questão não nos forneceu o tamanho da amostra $ n $. Vamos supor que $ n = 1 $ para simplificar, já que nenhuma informação adicional foi dada. Assim:
Portanto:
Resposta
A média do erro amostral $ e $ é $ 0 $ e a variância de $ e $ é $ 400 , (\mu \mathrm{~g}/\mathrm{g})^{2} $.