Mostre que:
1.2^{0}+2.2^{1}+3.2^{2}+\cdots+n .2^{n-1}=1+(n-1) 2^{n};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}=1+(n-1)2^{n}.
O método escolhido será prova por indução sobre n.

Passo 2

Caso base n=1:
Lado esquerdo:
\sum_{k=1}^{1}k\,2^{k-1}=1\cdot2^{0}=1.
Lado direito:
1+(1-1)2^{1}=1+0=1.
Portanto a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que a fórmula valha para algum n\ge1, ou seja,
\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}=1+(n-1)2^{n}.
Então, para n+1,
\sum_{k=1}^{n+1}k\,2^{k-1} =\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1} \;+\;(n+1)2^{n} =\bigl(1+(n-1)2^{n}\bigr) + (n+1)2^{n} =1+\bigl[(n-1)+(n+1)\bigr]2^{n} =1+2n\cdot2^{n} =1+\bigl((n+1)-1\bigr)2^{\,n+1},
mostrando que a fórmula vale também para n+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução, a igualdade
\sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}=1+(n-1)2^{n}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\,2^{k-1}=1+(n-1)2^{n}.

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