Prove the following extension of the lemma:
is irreducible unless
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. O enunciado diz para provar que o polinômio
é irreduzível, a menos que
pertença a
. Aqui, estamos lidando com teoria de polinômios e irreducibilidade em álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um polinômio ser irreduzível e o que representa
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio irreduzível. Um polinômio é irreduzível sobre um corpo
se ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em
. Ou seja, ele não tem divisores não triviais dentro desse corpo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o polinômio
. Sabemos que
, então o polinômio se simplifica para
. Esse é um polinômio de primeiro grau.
Passo 4
Polinômios de primeiro grau são sempre irreduzíveis sobre qualquer corpo, porque não há polinômios de grau menor que 1 para fatorar. Portanto,
é automaticamente irreduzível em
.
Passo 5
A menos que
pertença a
. Aqui,
representa o conjunto de todos os elementos de
que são
-ésimos poderes, ou seja,
.
Passo 6
No entanto, como
é de primeiro grau e irreduzível independente do valor de
, a condição
não afeta sua irreduzibilidade. Ou seja,
continua irreduzível mesmo se
estiver ou não em
.
Resposta
Portanto, o polinômio
é irreduzível em
para qualquer
, confirmando que ele permanece irreduzível a menos que
pertença a
.