Prove the following extension of the lemma: x^p^0-alpha is irreducible unless alpha varepsilon Phi^p.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. O enunciado diz para provar que o polinômio é irreduzível, a menos que pertença a . Aqui, estamos lidando com teoria de polinômios e irreducibilidade em álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um polinômio ser irreduzível e o que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio irreduzível. Um polinômio é irreduzível sobre um corpo se ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em . Ou seja, ele não tem divisores não triviais dentro desse corpo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o polinômio . Sabemos que , então o polinômio se simplifica para . Esse é um polinômio de primeiro grau.

Passo 4

Polinômios de primeiro grau são sempre irreduzíveis sobre qualquer corpo, porque não há polinômios de grau menor que 1 para fatorar. Portanto, é automaticamente irreduzível em .

Passo 5

A menos que pertença a . Aqui, representa o conjunto de todos os elementos de que são -ésimos poderes, ou seja, .

Passo 6

No entanto, como é de primeiro grau e irreduzível independente do valor de , a condição não afeta sua irreduzibilidade. Ou seja, continua irreduzível mesmo se estiver ou não em .

Resposta

Portanto, o polinômio é irreduzível em para qualquer , confirmando que ele permanece irreduzível a menos que pertença a .

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